Câu III.5 · 19/19
Đề bài
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $4a+c>8+2b$ và $a+b+c<-1$. Phương trình $x^3+ax^2+bx+c=0$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Hướng dẫn giải
**Đáp án**: $3$.
**Giải thích**:
**Bước 1. Chọn hàm để dùng tính liên tục.** Đặt
$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$
Hàm đa thức liên tục trên $\mathbb R$. Ta dùng định lí: nếu hàm liên tục trên một đoạn và hai giá trị ở hai đầu trái dấu, thì có ít nhất một nghiệm nằm giữa.
**Bước 2. Tính dấu tại hai điểm từ giả thiết.**
$$f(-2)=-8+4a-2b+c=(4a+c)-(8+2b)>0,$$
$$f(1)=1+a+b+c<0.$$
Vì vậy có ít nhất một nghiệm trong $(-2;1)$.
**Bước 3. Tìm thêm nghiệm ở hai phía.** Viết
$$f(x)=x^3\left(1+\frac ax+\frac b{x^2}+\frac c{x^3}\right).$$
Khi $x$ ra vô cực, ngoặc tiến tới $1>0$. Do đó
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$$
Vì thế có thể chọn số thực $A<-2$ đủ nhỏ để $f(A)<0$, và số thực $B>1$ đủ lớn để $f(B)>0$.
Áp dụng định lí trên hai đoạn hữu hạn $[A;-2]$ và $[1;B]$, ta tìm thêm ít nhất một nghiệm trong $(A;-2)$ và một nghiệm trong $(1;B)$.
**Bước 4. Đếm chính xác.** Ba nghiệm ở ba khoảng không giao nhau nên phân biệt. Phương trình bậc ba không có quá ba nghiệm thực phân biệt. Vậy có **đúng 3 nghiệm thực phân biệt**, nhập **3**.