Câu III.3 · 17/19
Đề bài
Cho hình bình hành $ABCD$. Qua A,B,C,D vẽ bốn tia song song, cùng phía với mặt phẳng $(ABCD)$. Một mặt phẳng cắt các tia lần lượt tại $A',B',C',D'$. Biết $AA'=3$, $BB'=5$, $CC'=4$. Tính $DD'$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
$2$.
**Giải thích**:
**Bước 1. Chứng minh $A'B'C'D'$ là hình bình hành.** Phép chiếu song song theo phương các tia đã cho biến các điểm $A,B,C,D$ thành $A',B',C',D'$. Vì cả hai hình đều nằm trong các mặt phẳng không chứa phương chiếu, ảnh không suy biến. Hai cặp cạnh đối song song được bảo toàn, nên $A'B'C'D'$ là hình bình hành.
Gọi $O=AC\cap BD$ và $O'=A'C'\cap B'D'$. Khi đó $O$ là trung điểm $AC,BD$; $O'$ là trung điểm $A'C',B'D'$.
**Bước 2. Dùng đường trung bình của hai hình thang.** Xét tứ giác $AA'C'C$. Hai cạnh $AA',CC'$ song song và cùng hướng từ đáy lên mặt phẳng cắt. Vì thế, $AA'C'C$ là hình thang với hai đáy $AA',CC'$; hai cạnh bên là $AC,A'C'$.
Đoạn $OO'$ nối trung điểm hai cạnh bên, nên là đường trung bình:
$$OO'=\frac{AA'+CC'}2.$$
Tương tự, trong hình thang $BB'D'D$, đoạn $OO'$ nối trung điểm hai cạnh bên $BD,B'D'$, nên
$$OO'=\frac{BB'+DD'}2.$$
**Bước 3. Lập phương trình và tính.** Hai biểu thức cùng bằng $OO'$, do đó
$$AA'+CC'=BB'+DD'.$$
Thay số:
$$3+4=5+DD'\quad\Rightarrow\quad DD'=7-5=2.$$
Vậy $\boxed{DD'=2}$. Đây là hệ quả của đường trung bình hình thang, không cần dùng phép biến đổi afin.