Câu II.3 · 13/19
Đề bài
Xét tính đúng–sai của các giới hạn sau.
- AĐúng$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2+3)=+\infty$.
- BSai$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)=-\infty$.
- CĐúng$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac1{x+2}=0$.
- DSai$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{2x}{x+3}}=2$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**: A – Đúng; B – Sai; C – Đúng; D – Sai.
**Giải thích**:
**A.** Khi $x\to+\infty$, $x^2\to+\infty$. Cộng hằng số 3 không làm mất xu hướng tăng không giới hạn, nên $x^2+3\to+\infty$. A đúng.
**B.** Ở phía $x\to-\infty$, xét $x<-1$ để căn xác định. Vì $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, ta có
$$\sqrt{x^2+x}-x
=(-x)\sqrt{1+\frac1x}-x
=(-x)\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right).$$
Thừa số $-x\to+\infty$; ngoặc tiến tới $1+1=2>0$. Vì vậy tích tiến tới $+\infty$, không phải $-\infty$. B sai. Không thay $\sqrt{x^2}$ bằng $x$ khi $x<0$.
**C.** Với $x\ne0,-2$,
$$\frac1{x+2}=\frac{1/x}{1+2/x}.$$
Khi $x\to-\infty$, tử mới tiến tới 0, mẫu mới tiến tới $1\ne0$, nên giới hạn bằng 0. C đúng.
**D.** Chia tử và mẫu dưới căn cho $x$:
$$\frac{2x}{x+3}=\frac2{1+3/x}\to2.$$
Biểu thức dưới căn dương ở phía dương đủ xa, nên
$$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=\sqrt2.$$
Kết quả không bằng 2, vì còn phải lấy căn. D sai.