Câu III.1 · 15/19
Đề bài
Tính $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt[3]{2n^2-n^3}+n}{\sqrt{n^2+n}-n}$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**: $\frac43$.
**Giải thích**:
Cả tử và mẫu đều có sự triệt tiêu giữa các hạng lớn. Ta dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương cho tử và nhân liên hợp cho mẫu, không dùng đạo hàm.
**Bước 1. Đưa $n$ ra ngoài các căn.** Vì $n>0$, đặt
$$r_n=\sqrt[3]{1-\frac2n},\qquad s_n=\sqrt{1+\frac1n}.$$
Ta có
$$\sqrt[3]{2n^2-n^3}
=\sqrt[3]{-n^3\left(1-\frac2n\right)}=-nr_n,$$
và $\sqrt{n^2+n}=ns_n$. Biểu thức cần xét trở thành
$$\frac{n(1-r_n)}{n(s_n-1)}=\frac{1-r_n}{s_n-1}.$$
Mẫu khác 0 vì $s_n>1$.
**Bước 2. Biến đổi từng hiệu.** Do $r_n^3=1-2/n$, hằng đẳng thức
$1-r_n^3=(1-r_n)(1+r_n+r_n^2)$ cho
$$1-r_n=\frac{2/n}{1+r_n+r_n^2}.$$
Mẫu $1+r_n+r_n^2=(r_n+1/2)^2+3/4$ luôn dương.
Với hiệu căn bậc hai, nhân liên hợp:
$$s_n-1=\frac{s_n^2-1}{s_n+1}
=\frac{1/n}{s_n+1}.$$
**Bước 3. Rút gọn và lấy giới hạn.**
$$\frac{1-r_n}{s_n-1}
=\frac{2/n}{1+r_n+r_n^2}\cdot\frac{s_n+1}{1/n}
=\frac{2(s_n+1)}{1+r_n+r_n^2}.$$
Khi $n\to+\infty$, $r_n\to1$ và $s_n\to1$. Mẫu mới tiến tới $3\ne0$, nên giới hạn là
$$\frac{2(1+1)}{1+1+1}=\boxed{\frac43}.$$
Nhập **4/3**.