Câu III.4 · 18/19
Đề bài
Thả một quả bóng từ độ cao 5 m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên đến độ cao bằng $4/5$ độ cao của lần rơi trước. Tính tổng quãng đường bóng đi được cho đến khi không nảy lên nữa, đơn vị mét.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**: $45$.
**Giải thích**:
Theo mô hình nảy vô hạn, tách quãng đường rơi đầu tiên khỏi những lượt nảy lên rồi rơi xuống.
**Bước 1. Lần rơi đầu.** Bóng đi xuống 5 m, chỉ tính một lượt.
**Bước 2. Các độ cao nảy.** Lần nảy đầu lên cao $5\cdot4/5=4$ m. Những lần tiếp theo lên cao bằng $4/5$ lần trước, nên các độ cao là
$$4;\quad4\cdot\frac45;\quad4\left(\frac45\right)^2;\ldots$$
Đây là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=4$ và công bội $q=4/5$, thỏa $|q|<1$.
Gọi $H$ là tổng các độ cao nảy:
$$H=\frac{u_1}{1-q}
=\frac4{1-4/5}=\frac4{1/5}=20\text{ (m)}.$$
**Bước 3. Đếm đủ hai lượt.** Mỗi độ cao nảy được đi một lượt lên và một lượt xuống, nên tổng quãng đường là
$$S=5+2H=5+2\cdot20=45\text{ (m)}.$$
Vậy nhập **45**. Không nhân đôi đoạn rơi đầu 5 m; đoạn ấy chỉ được đi một lần. “Không nảy lên nữa” được hiểu là giới hạn tổng quãng đường của mô hình.