Toán 11: chữa đề luyện cuối học kỳ I 2024–2025 – Kết nối tri thức, tuyển chọn đề 3

**Kết quả: A – Đúng; B – Sai; C – Đúng; D – Sai.** **1. Đưa phương trình về dạng tích.** Đặt $s=\sin x$. Ta dùng $\cos^2x=1-s^2$, $\sin2x=2\sin x\cos x$ và $\cos2x=1-2s^2$. Khi đó $$\sin^22x=4s^2(1-s^2),$$ $$\sin4x\cos x =2\sin2x\cos2x\cos x =4s(1-s^2)(1-2s^2).$$ Gọi $M$ là vế trái trừ vế phải của phương trình. Thay các biểu thức trên: $$M=2(s+1)(4s^2-4s^4-3s+1) -4s(1-s^2)(1-2s^2).$$ Khai triển từng tích rồi thu gọn: $$M=-16s^5-8s^4+20s^3+2s^2-8s+2.$$ Phân tích thành nhân tử: $$M=-2(s+1)^2(8s^3-12s^2+6s-1) =-2(s+1)^2(2s-1)^3.$$ Đẳng thức ở bước phân tích có thể kiểm tra bằng nhân $(s+1)^2=s^2+2s+1$ với đa thức trong ngoặc; ngoặc cuối là khai triển của $(2s-1)^3$. Vì $-2\ne0$, phương trình $M=0$ tương đương $$s=-1\quad\text{hoặc}\quad s=\frac12,$$ tức $\sin x=-1$ hoặc $\sin x=1/2$. **2. Kiểm tra biểu thức ở A.** Để đối chiếu chính xác với dạng tích đã nêu, đặt $v=x/2-\pi/4$. Ta có $2v=x-\pi/2$, nên $$2\cos^2v-1=\cos2v=\sin x=s, \qquad \cos^2v=\frac{s+1}2.$$ Mặt khác, $3x/2+\pi/4=3v+\pi$. Công thức cộng và nhân đôi cho $$\cos3v=\cos2v\cos v-\sin2v\sin v =4\cos^3v-3\cos v.$$ Vì vậy $$\cos\left(\frac{3x}2+\frac\pi4\right) =-\cos3v=-\cos v(4\cos^2v-3) =-\cos v(2s-1).$$ Suy ra tích ở A bằng $$\cos v\left[-\cos v(2s-1)\right]^3 =-\cos^4v(2s-1)^3 =-\frac{(s+1)^2(2s-1)^3}{4}.$$ So sánh với bước 1, $M$ bằng **8 lần** tích ở A. Vì $8\ne0$, hai phương trình tương đương. Do đó **A đúng**. Các bước chỉ dùng đẳng thức và không chia cho nhân tử có thể bằng $0$, nên không mất nghiệm. **3. Tìm nghiệm trong $(-\pi;\pi)$.** Với $\sin x=-1$, nghiệm tổng quát là $$x=-\frac\pi2+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$ Trong khoảng đã cho chỉ có $k=0$, cho $x=-\pi/2$. Với $\sin x=1/2$, hai họ nghiệm là $$x=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{hoặc}\quad x=\frac{5\pi}6+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$ Ở mỗi họ, $k=0$ cho nghiệm trong khoảng; $k\ge1$ cho giá trị lớn hơn $\pi$, còn $k\le-1$ cho giá trị nhỏ hơn $-\pi$. Vì thế nhận $x=\pi/6$ và $x=5\pi/6$. Vậy có đúng **3 nghiệm phân biệt**: $$-\frac\pi2,\quad\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6.$$ Do đó **B sai**, **C đúng**. Tổng là $$-\frac\pi2+\frac\pi6+\frac{5\pi}6 =\frac{(-3+1+5)\pi}6=\frac\pi2,$$ khác $7\pi/6$, nên **D sai**.