Câu II.4 · 14/19
Đề bài
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $CD$. Gọi $M$ là trung điểm $SA$, $N=SB\cap(MCD)$. Xét tính đúng–sai.
- ASai$MN$ và $SD$ cắt nhau.
- BĐúng$MN\parallel CD$.
- CSai$MN$ và $SC$ cắt nhau.
- DSai$MN$ và $CD$ chéo nhau.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
**Giải thích**:
**Bước 1. Xác định hướng của $MN$.** Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB,CD$, ta có $AB\parallel CD$.
Mặt phẳng $(MCD)$ chứa $CD$, mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB$; hai mặt phẳng cùng qua $M$. Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường song song, giao tuyến của chúng là đường qua $M$ song song $AB,CD$.
Đường này cắt $SB$ tại $N$, nên
$$MN\parallel AB\parallel CD.$$
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, do đó $N$ là trung điểm $SB$. Đặc biệt, $MN$ không đi qua $S$.
**Bước 2. Xét từng ý.**
- a) $MN\subset(SAB)$, còn $SD$ gặp $(SAB)$ chỉ tại $S$ vì $D\notin(SAB)$. Do $S\notin MN$, hai đường không cắt nhau. Ý a **sai**.
- b) Đã chứng minh $MN\parallel CD$, nên ý b **đúng**.
- c) Tương tự, $SC$ gặp $(SAB)$ chỉ tại $S\notin MN$, nên $MN$ không cắt $SC$. Ý c **sai**.
- d) Hai đường $MN,CD$ song song thì đồng phẳng, không chéo nhau. Ý d **sai**.