Câu IV.1 · 19/22
Đề bài
Một mô hình chuyển động cho quãng đường trên mặt phẳng nghiêng là $R(\theta)=\dfrac{v_0^2\sqrt2}{16}\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)$, $v_0>0$ cố định, $45^\circ<\theta<90^\circ$. Chọn góc làm $R$ lớn nhất và giá trị lớn nhất tương ứng.
-
AĐáp án$\theta=67{,}5^\circ$, $R_{\max}=\dfrac{v_0^2(2-\sqrt2)}{32}$.
-
B$\theta=45^\circ$, $R_{\max}=\dfrac{v_0^2\sqrt2}{32}$.
-
C$\theta=67{,}5^\circ$, $R_{\max}=\dfrac{v_0^2(2+\sqrt2)}{32}$.
-
D$\theta=60^\circ$, $R_{\max}=\dfrac{v_0^2}{32}$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
A. $\theta=67{,}5^\circ$, $R_{\max}=\dfrac{v_0^2(2-\sqrt2)}{32}$.
**Giải thích**:
Vì $v_0>0$ cố định, hệ số $\dfrac{v_0^2\sqrt2}{16}$ dương. Vì vậy muốn $R$ lớn nhất, cần làm $\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)$ lớn nhất.
Dùng các công thức góc đôi:
$$\sin\theta\cos\theta=\frac12\sin2\theta,\qquad
\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}.$$
Suy ra:
$$\begin{aligned}
\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)
&=\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta\\
&=\frac12(\sin2\theta-\cos2\theta-1).
\end{aligned}$$
Do đó:
$$R(\theta)=\frac{v_0^2\sqrt2}{32}
(\sin2\theta-\cos2\theta-1).$$
Từ công thức sin của hiệu:
$$\begin{aligned}
\sin(2\theta-45^\circ)
&=\sin2\theta\cos45^\circ-\cos2\theta\sin45^\circ\\
&=\frac{\sin2\theta-\cos2\theta}{\sqrt2},
\end{aligned}$$
nên $\sin2\theta-\cos2\theta=\sqrt2\sin(2\theta-45^\circ)$.
Vì giá trị sin không vượt quá $1$:
$$R(\theta)\le\frac{v_0^2\sqrt2}{32}(\sqrt2-1).$$
Dấu bằng đạt được khi $2\theta-45^\circ=90^\circ$, tức:
$$2\theta=135^\circ\quad\Longleftrightarrow\quad\theta=67{,}5^\circ.$$
Góc này thuộc khoảng $45^\circ<\theta<90^\circ$, nên đạt được giá trị lớn nhất trong miền yêu cầu.
Cuối cùng:
$$R_{\max}
=\frac{v_0^2\sqrt2(\sqrt2-1)}{32}
=\frac{v_0^2(2-\sqrt2)}{32}.$$
Vậy chọn A.