Câu III.3 · 17/22
Đề bài
Trong hệ $Oxyz$ như hình, $M(x;y;z)$ thuộc góc phần không gian có $x,y,z>0$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(Oxy)$, các tia $OB,OC$ lần lượt là tia dương $Oy,Oz$. Biết $OM=14$, $\widehat{NOB}=32^\circ$, $\widehat{MOC}=65^\circ$. Làm tròn riêng từng tọa độ đến hàng phần mười rồi tính $S=x+y+z$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
23,4
**Giải thích**:
Vì $M(x;y;z)$ có cả ba tọa độ dương, các độ dài hình chiếu theo trục chính là $x,y,z$.
**1. Tìm cao độ $z$ và độ dài $ON$.**
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $Oz$. Khi đó $OH=z$, còn $MH=ON$ vì $N$ là hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$.
Tam giác $OHM$ vuông tại $H$. Tia $OH$ cùng hướng với tia $OC$, nên $\widehat{HOM}=65^\circ$. Dùng định nghĩa côsin và sin trong tam giác vuông:
$$z=OH=OM\cos65^\circ=14\cos65^\circ\approx5,9167,$$
$$ON=MH=OM\sin65^\circ=14\sin65^\circ\approx12,6883.$$
**2. Tìm hoành độ $x$ và tung độ $y$.**
Trong mặt phẳng $(Oxy)$, tia $ON$ tạo với tia dương $Oy$ góc $32^\circ$. Hình chiếu của $ON$ lên $Oy$ ứng với cạnh kề góc này, còn thành phần theo $Ox$ ứng với cạnh đối. Do đó
$$y=ON\cos32^\circ=14\sin65^\circ\cos32^\circ\approx10,7603,$$
$$x=ON\sin32^\circ=14\sin65^\circ\sin32^\circ\approx6,7239.$$
Chú ý góc $32^\circ$ được đo từ $Oy$, không phải từ $Ox$.
**3. Làm tròn đúng thứ tự đề yêu cầu.**
Làm tròn riêng từng tọa độ đến hàng phần mười:
$$x\approx6,7,\qquad y\approx10,8,\qquad z\approx5,9.$$
Cộng các giá trị sau khi làm tròn:
$$S=6,7+10,8+5,9=23,4.$$
Vậy đáp án là $23,4$.