Câu III.2 · 16/22
Đề bài
Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $T(x)=x^2+20x+4000$ nghìn đồng. Giá bán 150 nghìn đồng/sản phẩm, bán hết số sản xuất. Tính lợi nhuận lớn nhất, đơn vị nghìn đồng, với $x$ là số nguyên không âm.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
$225$.
**Giải thích**:
Gọi $x$ là số sản phẩm sản xuất và bán hết, với $x$ là số nguyên không âm. Giá bán mỗi sản phẩm là $150$ nghìn đồng, nên doanh thu:
$$R(x)=150x\quad(\text{nghìn đồng}).$$
Lợi nhuận bằng doanh thu trừ **tổng chi phí**:
$$\begin{aligned}
L(x)&=R(x)-T(x)\\
&=150x-(x^2+20x+4000)\\
&=-x^2+130x-4000.
\end{aligned}$$
Hoàn thành bình phương để xác định giá trị lớn nhất:
$$\begin{aligned}
L(x)&=-(x^2-130x+65^2)+65^2-4000\\
&=-(x-65)^2+4225-4000\\
&=225-(x-65)^2.
\end{aligned}$$
Vì bình phương không âm, $L(x)\le225$ với mọi $x$ trong miền. Dấu bằng xảy ra khi $x-65=0$, tức $x=65$. Số $65$ là số nguyên không âm, nên đạt được theo điều kiện đề.
Vậy lợi nhuận lớn nhất là $225$ nghìn đồng. Trường đáp án chỉ ghi $225$ vì đề đã quy định đơn vị nghìn đồng.