Câu III.4 · 18/22
Đề bài
Tính từ 8 giờ sáng, mực nước trong mô hình một hồ có độ sâu $h(t)=-\dfrac13t^3+5t^2+24t$ (m), $t$ là số giờ kể từ 8 giờ, xét $0\le t\le16$ trong cùng ngày. Hồ xả nước khi $h$ đạt lớn nhất; phải thông báo trước 5 giờ. Cần thông báo lúc mấy giờ trong ngày, theo đồng hồ 24 giờ?
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
$15$.
**Giải thích**:
Thời gian $t$ được tính **kể từ 8 giờ sáng**, không phải trực tiếp là giờ trên đồng hồ. Trước hết tìm $t$ để mực nước lớn nhất trên $[0;16]$.
Đạo hàm:
$$\begin{aligned}
h'(t)&=-t^2+10t+24\\
&=-(t^2-10t-24)=-(t-12)(t+2).
\end{aligned}$$
Giải $h'(t)=0$ được $t=12$ hoặc $t=-2$. Loại $t=-2$ vì không thuộc $[0;16]$.
Trên đoạn xét, $t+2>0$. Do đó:
- Khi $0<t<12$, $t-12<0$, nên $h'(t)>0$: mực nước tăng.
- Khi $12<t<16$, $t-12>0$, nên $h'(t)<0$: mực nước giảm.
Vậy mực nước lớn nhất tại $t=12$, tức sau $12$ giờ kể từ 8 giờ sáng. Thời điểm xả nước theo đồng hồ:
$$8+12=20\text{ giờ}.$$
Phải thông báo trước $5$ giờ, nên thời điểm thông báo là:
$$20-5=15\text{ giờ}.$$
Vậy cần thông báo lúc $15$ giờ, tức $3$ giờ chiều.