Toán 12: chữa đề ôn cuối học kỳ I 2025–2026 – Đề 1

**Đáp án**: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng **Giải thích**: a) Ta cần tìm cạnh bên của hình hộp, rồi xác định $C'$. Gọi $D(x;y;z)$. Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. $$\overrightarrow{BC}=(-3-4;2-5;-1-6)=(-7;-3;-7).$$ Trong khi đó $\overrightarrow{AD}=(x-1;y-2;z-3)$, nên $$\begin{cases} x-1=-7\ \Longrightarrow\ x=-6,\\ y-2=-3\ \Longrightarrow\ y=-1,\\ z-3=-7\ \Longrightarrow\ z=-4. \end{cases}$$ Vậy $D(-6;-1;-4)$. Do các cạnh bên hình hộp biểu diễn những vectơ bằng nhau: $$\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'} =(0-(-6);-3-(-1);5-(-4))=(6;-2;9).$$ Gọi $C'(p;q;r)$. Từ $C(-3;2;-1)$: $$\overrightarrow{CC'}=(p+3;q-2;r+1)=(6;-2;9).$$ Suy ra $p=3,q=0,r=8$, tức $C'(3;0;8)$, khác $(9;4;10)$. Khẳng định a sai. b) Tâm hình hộp là trung điểm của mỗi đường chéo nối hai đỉnh đối diện, trong đó có $BD'$. Gọi tâm là $I$: $$I\left(\frac{4+0}{2};\frac{5+(-3)}{2};\frac{6+5}{2}\right) =\left(2;1;\frac{11}{2}\right).$$ Khẳng định b đúng. c) Dùng quy tắc cộng vectơ theo đường đi $B\to A\to D\to D'$: $$\overrightarrow{BD'} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD'}.$$ Vì $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$, nên $$\overrightarrow{BD'} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}.$$ Khẳng định c đúng. d) Vì $M$ là trung điểm $CC'$, hai vectơ $\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CC'}$ cùng hướng và $CM=\frac12CC'$. Do đó $$\overrightarrow{CM}=\frac12\overrightarrow{CC'}=\frac12\overrightarrow{AA'}.$$ Đáy là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Chèn $C$ vào vectơ $\overrightarrow{AM}$: $$\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\\ &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA'}. \end{aligned}$$ Khẳng định d đúng.