Câu 8
Đề bài
Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Với điểm $O$ bất kỳ, chứng minh $\overrightarrow{OG}=\dfrac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$.
Hướng dẫn giải
**1. Dùng trung tuyến.** Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Tính chất trọng tâm cho $\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}$.
**2. Đổi về các vectơ gốc $O$.**
$$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{OA}+\frac23(\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OA})$$
$$=\frac13\overrightarrow{OA}+\frac23\overrightarrow{OI}.$$
Vì $I$ là trung điểm $BC$,
$$\overrightarrow{OI}=\frac12(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$$
Thay vào trên:
$$\boxed{\overrightarrow{OG}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}.$$
Đẳng thức đúng với mọi gốc $O$, không cần chọn $O$ là một đỉnh của tam giác.
