Câu 6
Đề bài
Tam giác $ABC$ có góc $A$ tù. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $C$ xuống đường thẳng $AB$. Chứng minh $S_{ABC}=\dfrac12 AB\cdot AC\sin A$, giải thích vì sao công thức vẫn đúng khi góc $A$ tù.
Hướng dẫn giải
**1. Vị trí chân đường cao.** Khi $A$ tù, chân $H$ nằm trên phần kéo dài của $AB$ về phía đối diện $B$ qua $A$. Do hai tia $AH,AB$ đối nhau,
$$\widehat{CAH}=180^\circ-A.$$
**2. Tính chiều cao bằng tam giác vuông.** Trong tam giác $ACH$ vuông tại $H$,
$$CH=AC\sin\widehat{CAH}=AC\sin(180^\circ-A)=AC\sin A.$$
**3. Dùng công thức đáy nhân chiều cao.** Đáy là $AB$ và chiều cao là khoảng cách $CH$ đến đường thẳng chứa đáy, nên
$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot CH=\boxed{\frac12 AB\cdot AC\sin A}.$$
Chân đường cao nằm ngoài đoạn $AB$ không làm diện tích âm. Ta dùng độ dài $CH>0$, không dùng độ dài có dấu.
