Câu 15 · 15/16
Đề bài
Cho tam giác $ABC$ cân tại $B$. Các điểm $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Lấy điểm $K$ sao cho $M$ là trung điểm của $HK$. Kẻ $CE\perp AK$ tại $E$; gọi $N$ là trung điểm của $EA$. Chứng minh $BN\perp CN$.
Hướng dẫn giải
Hai đường chéo $BC,HK$ của tứ giác $BKCH$ cắt nhau tại trung điểm $M$, nên tứ giác là hình bình hành. Tam giác $ABC$ cân tại $B$ và $H$ là trung điểm $AC$, nên $BH\perp AC$. Hình bình hành có góc $BHC$ vuông, nên là hình chữ nhật. Vì vậy hai đường chéo bằng nhau: $HK=BC$.
Trong tam giác $AEC$, $N,H$ là trung điểm của $AE,AC$. Đường trung bình $NH$ song song $EC$. Do $EC\perp AK$ và $K,N$ thuộc $AK$, có $NH\perp NK$; tam giác $KNH$ vuông tại $N$.
$M$ là trung điểm cạnh huyền $HK$ của tam giác vuông $KNH$, nên:
$$NM=HK/2=BC/2.$$
Trong tam giác $BNC$, $M$ là trung điểm $BC$. Trung tuyến $NM$ bằng nửa cạnh $BC$, nên tam giác $BNC$ vuông tại $N$. Vậy $BN\perp CN$.
