Câu 22 · 22/22
Đề bài
Cho $2(x+y)=5(y+z)=3(z+x)$. Chứng minh
$$\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}.$$
Hướng dẫn giải
Chia ba biểu thức bằng nhau trong giả thiết cho $30$, ta được:
$$\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}.$$
Gọi giá trị chung là $k$. Khi đó:
$$x+y=15k,\quad y+z=6k,$$
$$z+x=10k.$$
Lấy đẳng thức thứ ba trừ đẳng thức thứ hai:
$$\begin{aligned}x-y&=(z+x)-(y+z)\\&=10k-6k=4k.\end{aligned}$$
Lấy đẳng thức thứ nhất trừ đẳng thức thứ ba:
$$\begin{aligned}y-z&=(x+y)-(z+x)\\&=15k-10k=5k.\end{aligned}$$
Do đó $\dfrac{x-y}{4}=k=\dfrac{y-z}{5}$. Điều phải chứng minh đã được suy ra.