Câu 18 · 18/19
Đề bài
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB<AC$, đường cao $AH$. Gọi $M,N$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $H$ đến $AB,AC$. Với $I$ là trung điểm của $BC$, chứng minh $AI\perp MN$.
Hướng dẫn giải
Vì $HM\perp AB$, $HN\perp AC$ và $AB\perp AC$, tứ giác $AMHN$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó $AN=HM$, $MN=AH$ và $AM$ là cạnh chung. Hai tam giác $AMN$, $MAH$ bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh, suy ra:
$$\begin{aligned}&\widehat{AMN}=\widehat{MAH}\\&\qquad=\widehat{BAH}.\end{aligned}$$
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và $H\in BC$, nên hai góc $BAH$, $ABC$ phụ nhau. Mặt khác, trung tuyến ứng với cạnh huyền cho $IA=IB$. Tam giác $AIB$ cân tại $I$, nên
$$\begin{aligned}&\widehat{BAI}=\widehat{ABI}\\&\qquad=\widehat{ABC}.\end{aligned}$$
Gọi $O=AI\cap MN$. Trong tam giác $AMO$, hai góc tại $A,M$ lần lượt bằng góc $BAI$, góc $AMN$ và có tổng $90^\circ$. Suy ra góc $AOM$ bằng $90^\circ$, tức $AI\perp MN$.