Câu 7 · 7/11
Đề bài
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc. Hỏi mỗi người thợ chỉ làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc?
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
Người thứ nhất làm một mình hết $24$ giờ; người thứ hai hết $48$ giờ.
**Giải thích**:
**1. Chọn ẩn biểu diễn năng suất.**
Coi toàn bộ công việc là $1$. Gọi $u,v$ lần lượt là phần công việc người thứ nhất và người thứ hai làm được trong một giờ, với $u>0$, $v>0$.
Với năng suất không đổi, **phần công việc làm được = năng suất × thời gian**.
Hai người cùng làm $16$ giờ thì xong:
$$16(u+v)=1\Rightarrow u+v=\dfrac1{16}.$$
Người thứ nhất làm $3$ giờ được $3u$ công việc, người thứ hai làm $6$ giờ được $6v$ công việc. Tổng bằng $25\%=\dfrac14$ công việc:
$$3u+6v=\dfrac14.$$
Chia phương trình này cho $3$:
$$u+2v=\dfrac1{12}.$$
**2. Giải hệ tìm năng suất.**
Ta có:
$$\begin{cases}u+v=\dfrac1{16},\\u+2v=\dfrac1{12}.\end{cases}$$
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:
$$v=\dfrac1{12}-\dfrac1{16}
=\dfrac4{48}-\dfrac3{48}
=\dfrac1{48}.$$
Suy ra:
$$u=\dfrac1{16}-\dfrac1{48}
=\dfrac3{48}-\dfrac1{48}
=\dfrac2{48}=\dfrac1{24}.$$
**3. Đổi năng suất thành thời gian.**
Thời gian hoàn thành toàn bộ công việc bằng $1$ chia cho năng suất:
- Người thứ nhất: $1:\dfrac1{24}=24$ giờ.
- Người thứ hai: $1:\dfrac1{48}=48$ giờ.
Kiểm tra: cùng làm trong $16$ giờ được
$$16\left(\dfrac1{24}+\dfrac1{48}\right)
=16\cdot\dfrac3{48}=1$$
công việc. Khi làm lần lượt $3$ giờ và $6$ giờ, tổng là:
$$3\cdot\dfrac1{24}+6\cdot\dfrac1{48}
=\dfrac18+\dfrac18=\dfrac14.$$
Vậy hai thời gian cần tìm lần lượt là **$24$ giờ và $48$ giờ**.