Câu 17
Đề bài
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$, $MN=12$ cm và $\widehat N=30^\circ$. Đường tròn tâm $I$, đường kính $MN$ cắt $NP$ tại $Q$ ($Q\ne N$).
a) Chứng minh $MP$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$.
b) Chứng minh $MQ^2=QP\cdot QN$.
c) Tính khoảng cách từ $I$ đến $MQ$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
a) $MP$ là tiếp tuyến tại $M$.
b) $MQ^2=QP\cdot QN$.
c) Khoảng cách từ $I$ đến $MQ$ bằng $3\sqrt3$ cm.
**Giải thích**:
**a) Chứng minh $MP$ là tiếp tuyến.**
Tam giác $MNP$ vuông tại $M$, nên $MP\perp MN$. Tâm $I$ là trung điểm đường kính $MN$, do đó $IM$ nằm trên đường thẳng $MN$. Suy ra
$$IM\perp MP.$$
Điểm $M$ thuộc đường tròn đường kính $MN$, và $MP$ vuông góc với bán kính $IM$ tại $M$. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $\boxed{MP\text{ là tiếp tuyến tại }M}$.
**b) Chứng minh hệ thức bằng hai tam giác đồng dạng.**
Điểm $Q$ thuộc đường tròn đường kính $MN$, nên góc nội tiếp $MQN$ chắn nửa đường tròn:
$$\widehat{MQN}=90^\circ.$$
Vì $N,Q,P$ thẳng hàng, $MQ\perp NP$. Vậy $MQ$ là đường cao của tam giác vuông $MNP$.
Xét hai tam giác $MQP,NQM$:
- Cả hai đều vuông tại $Q$.
- Trong tam giác $MQP$, $\widehat{QMP}=90^\circ-\widehat{MPQ}$.
- Trong tam giác $MNP$, $\widehat{MNP}=90^\circ-\widehat{MPN}$. Vì $P,Q,N$ thẳng hàng nên $\widehat{MPQ}=\widehat{MPN}$, từ đó $\widehat{QMP}=\widehat{MNP}=\widehat{QNM}$.
Hai tam giác đồng dạng theo góc – góc:
$$\triangle MQP\sim\triangle NQM.$$
Các cạnh tương ứng cho
$$\frac{MQ}{NQ}=\frac{QP}{QM}.$$
Nhân chéo, với $QM=MQ$, ta được
$$\boxed{MQ^2=QP\cdot QN}.$$
**c) Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến dây $MQ$.**
Trong tam giác $MNQ$ vuông tại $Q$, cạnh huyền là $MN=12$ cm, góc tại $N$ bằng $30^\circ$. Cạnh đối góc $N$ là $MQ$, nên
$$\sin30^\circ=\frac{MQ}{MN}.$$
Do đó
$$MQ=12\cdot\frac12=6\text{ cm}.$$
Hạ $IH\perp MQ$ tại $H$. Khoảng cách cần tìm là $IH$. Vì $IM=IQ$ là hai bán kính, tam giác $IMQ$ cân tại $I$; đường cao $IH$ cũng là trung tuyến. Suy ra
$$MH=HQ=\frac{MQ}{2}=3\text{ cm}.$$
Bán kính đường tròn là
$$IM=\frac{MN}{2}=6\text{ cm}.$$
Tam giác $IMH$ vuông tại $H$. Theo định lí Pythagore,
$$IH^2=IM^2-MH^2=6^2-3^2=36-9=27.$$
Vì khoảng cách dương nên
$$\boxed{IH=\sqrt{27}=3\sqrt3\text{ cm}}.$$