Câu 12
Đề bài
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$, có đường cao $AH$ với $H\in BC$. Lấy $E\in AC$ sao cho $AE=AB$; qua $E$ kẻ $ED\parallel AH$ với $D\in BC$. Chứng minh $HA=HD$.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác $CHA$, vì $E\in CA$, $D\in CH$ và $ED\parallel AH$, định lí Thalès cho $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{CD}{DH}$. Mặt khác, hai tam giác vuông $CDE$ và $AHB$ có $\widehat{ECD}=\widehat{BAH}$ vì cùng phụ với $\widehat{ABC}$, nên chúng đồng dạng. Do đó $\dfrac{CD}{AH}=\dfrac{CE}{AB}$. Theo giả thiết $AB=AE$, suy ra $\dfrac{CD}{AH}=\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CD}{DH}$. Vì $CD>0$, ta được $AH=DH$.