Ví dụ 6/6
Không gộp qua điểm bị loại khỏi miền
Với hàm phân thức, kiểm tra mẫu khác 0 trước khi xét dấu đạo hàm. Chỉ kết luận trên các khoảng nằm trọn trong tập xác định.
Đề bài
Cho hàm số \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
A\((-2;0)\)
-
B\((-\infty;+\infty)\)
-
C\((-1;+\infty)\)
-
D\((-\infty;0)\)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải
**Đáp án:** C
**Lời giải:**
**Bước 1. Xác định miền.** Mẫu số khác $0$ khi $x+1\ne0$, tức $x\ne-1$. Hai khoảng xác định là $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$.
**Bước 2. Tính đạo hàm.** Dùng quy tắc đạo hàm thương:
$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},$$
với $u=2x-1$, $u'=2$, $v=x+1$, $v'=1$. Suy ra:
$$f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}
=\frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}
=\frac3{(x+1)^2}.$$
**Bước 3. Xét dấu và chọn.** Với $x\ne-1$, bình phương $(x+1)^2>0$, nên $f'(x)>0$. Hàm đồng biến trên từng khoảng xác định.
Trong bốn phương án, chỉ **$(-1;+\infty)$** nằm trọn trong tập xác định; các khoảng A, B, D đều chứa điểm bị loại $-1$. Vậy chọn **C**.