Ví dụ 1/6
Xét dấu tích hai nhân tử
Tìm các nghiệm của đạo hàm rồi chia trục số thành các khoảng. Xét dấu từng nhân tử trước khi kết luận khoảng đồng biến.
Đề bài
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm \(f'(x)=(x+2)(x-1)\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Hàm số \(f\) đồng biến trên
-
A\((-2;1)\)
-
B\((-\infty;1)\)
-
C\((-\infty;-2)\) và \((1;+\infty)\)Đúng
-
D\((-2;+\infty)\)
Hướng dẫn giải
**Đáp án:** C
**Lời giải:**
**Hướng giải:** Hàm đồng biến trên khoảng có đạo hàm dương. Đề đã cho đạo hàm trên toàn $\mathbb R$, nên ta xét dấu hai nhân tử $x+2,x-1$.
Đạo hàm bằng $0$ khi:
$$(x+2)(x-1)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2\ \text{hoặc}\ x=1.$$
Hai mốc chia trục số thành ba khoảng:
| Khoảng | $x+2$ | $x-1$ | $f'(x)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(-\infty;-2)$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $(-2;1)$ | $+$ | $-$ | $-$ |
| $(1;+\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ |
Tích hai số âm là dương; tích hai số trái dấu là âm. Vì vậy $f'(x)>0$ ở hai khoảng ngoài, còn $f'(x)<0$ ở khoảng giữa.
Vậy hàm **đồng biến trên $(-\infty;-2)$ và $(1;+\infty)$**, chọn **C**.