Ví dụ 5/6
Đạo hàm bằng 0 chưa chắc phải tách khoảng
Nhân tử bình phương không đổi dấu khi đi qua nghiệm. Em phân biệt một điểm đạo hàm bằng 0 với một điểm làm đổi tính đơn điệu.
Đề bài
Cho hàm số \(f\) có đạo hàm \(f'(x)=(x-1)^2(x+2)\) với mọi \(x\in\mathbb R\). Khoảng mở đồng biến lớn nhất của hàm số là
-
A\((-\infty;-2)\)
-
B\((-2;+\infty)\)
-
C\((-2;1)\)
-
D\((1;+\infty)\)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải
**Đáp án:** B
**Lời giải:**
**Hướng giải:** Xét dấu đạo hàm, nhưng không tách khoảng chỉ vì đạo hàm bằng $0$ tại một điểm.
Ta có:
$$f'(x)=(x-1)^2(x+2).$$
Nhân tử $(x-1)^2$ không âm, chỉ bằng $0$ tại $x=1$. Với $x\ne1$, dấu đạo hàm là dấu của $x+2$:
| Khoảng | $(-\infty;-2)$ | $(-2;1)$ | $(1;+\infty)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $f'(x)$ | $-$ | $+$ | $+$ |
Tại $x=1$, $f'(1)=0$, nhưng đạo hàm dương ở cả hai phía. Trên toàn $(-2;+\infty)$, đạo hàm không âm và chỉ bằng $0$ tại một điểm. Theo quy tắc mở rộng về tính đơn điệu, hàm vẫn đồng biến trên cả khoảng này.
Phía trái $-2$, hàm nghịch biến nên không thể mở rộng khoảng đồng biến về phía đó. Vì vậy **khoảng mở đồng biến lớn nhất là $(-2;+\infty)$**, chọn **B**.
Hai khoảng $(-2;1)$ và $(1;+\infty)$ cũng là các khoảng đồng biến, nhưng nhỏ hơn khoảng lớn nhất đề yêu cầu.