Ví dụ 4/6
Ba nghiệm chia thành bốn khoảng
Sắp xếp các nghiệm đạo hàm theo thứ tự trước khi lập bảng dấu. Em đếm đủ các khoảng và không gộp qua nơi đạo hàm đổi dấu.
Đề bài
Cho \(f(x)=x^4-2x^2\). Hàm số đồng biến trên
-
A\((-\infty;-1)\) và \((0;1)\)
-
B\((-1;1)\)
-
C\((-1;0)\) và \((1;+\infty)\)
-
D\((0;+\infty)\)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải
**Đáp án:** C
**Lời giải:**
Đa thức xác định trên $\mathbb R$. Ta tính đạo hàm, tìm các nghiệm rồi xét dấu từng nhân tử.
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1).$$
Dùng $x^2-1=(x-1)(x+1)$:
$$f'(x)=4x(x-1)(x+1).$$
Các nghiệm $-1,0,1$ chia trục số thành bốn khoảng. Hệ số $4$ dương nên không đổi dấu tích. Ta xét dấu $f'(x)$ qua hai bảng gọn sau:
| Khoảng | $x$ | $x-1$ |
|---|---|---|
| $(-\infty;-1)$ | $-$ | $-$ |
| $(-1;0)$ | $-$ | $-$ |
| $(0;1)$ | $+$ | $-$ |
| $(1;+\infty)$ | $+$ | $+$ |
| Khoảng | $x+1$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|
| $(-\infty;-1)$ | $-$ | $-$ |
| $(-1;0)$ | $+$ | $+$ |
| $(0;1)$ | $+$ | $-$ |
| $(1;+\infty)$ | $+$ | $+$ |
Chẳng hạn trên $(-1;0)$, hai nhân tử âm và một nhân tử dương cho tích dương. Các khoảng còn lại được xét tương tự theo bảng.
Hàm đồng biến nơi $f'(x)>0$, tức trên **$(-1;0)$ và $(1;+\infty)$**. Chọn **C**. Đây là bài dùng dấu đạo hàm; không cần tìm các giá trị cực trị để trả lời.