Câu 13 · 13/14
Đề bài
Cho tam giác $ABC$ có $AB=AC$, $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $MD\perp AB$ tại $D\in AB$, $ME\perp AC$ tại $E\in AC$. Chứng minh $DE\parallel BC$.
Hướng dẫn giải
Hai tam giác $ABM$ và $ACM$ có $AB=AC$, $MB=MC$ và $AM$ chung. Vì vậy chúng bằng nhau theo cạnh–cạnh–cạnh, suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$.
Hai tam giác $AMD$ và $AME$ vuông lần lượt tại $D,E$, có cạnh huyền $AM$ chung và $\widehat{DAM}=\widehat{EAM}$. Do đó chúng bằng nhau theo cạnh huyền–góc nhọn, suy ra $AD=AE$.
Tam giác $ABC$ cân tại $A$, còn tam giác $ADE$ cũng cân tại $A$ vì $AD=AE$. Hai tam giác có cùng góc ở đỉnh $A$, nên:
$$\widehat{ABC}=\frac{180^\circ-\widehat A}{2},$$
$$\widehat{ADE}=\frac{180^\circ-\widehat A}{2}.$$
Do đó $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$. Hai góc này đồng vị do đường thẳng $AB$ cắt $DE$ và $BC$. Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, $DE\parallel BC$.