Câu 6 · 6/6
Đề bài
Cho biểu thức:
$$A=2+2^2+2^3+\cdots +2^{2024}+2^{2025}.$$
Chứng minh $A$ chia hết cho $7$.
Hướng dẫn giải
**Nhóm ba lũy thừa liên tiếp**
Tổng có $2025$ số hạng, ứng với các số mũ từ $1$ đến $2025$. Vì $2025:3=675$, ta chia thành $675$ nhóm, mỗi nhóm gồm ba số hạng liên tiếp.
- Nhóm đầu là $2+2^2+2^3$.
- Nhóm thứ hai là $2^4+2^5+2^6$.
- Tiếp tục như vậy, nhóm cuối gồm $2^{2023}$, $2^{2024}$ và $2^{2025}$.
**Chứng minh mỗi nhóm chia hết cho $7$**
Trong mỗi nhóm, lấy lũy thừa đầu làm nhân tử chung. Hai lũy thừa tiếp theo lần lượt gấp $2$ lần và $4$ lần số đầu, nên phần còn lại luôn là $1+2+4=7$.
Ví dụ, hai nhóm đầu:
$$\begin{aligned}
2+2^2+2^3&=2(1+2+4)\\
&=2\cdot7,\\
2^4+2^5+2^6&=2^4(1+2+4)\\
&=2^4\cdot7.
\end{aligned}$$
Nhóm cuối cũng bằng $2^{2023}(1+2+4)$, tức $2^{2023}\cdot7$. Vì vậy mỗi nhóm đều là bội của $7$.
Tổng của các số chia hết cho $7$ cũng chia hết cho $7$. Do đó **$A$ chia hết cho $7$**, điều phải chứng minh.