Câu 9
Đề bài
Cho tam giác $MNP$ cân tại $M$, $\widehat M<90^\circ$. Kẻ $NH\perp MP$ tại $H$, $PK\perp MN$ tại $K$; $NH$ và $PK$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh $ME$ là đường phân giác của $\widehat{NMP}$.
Hướng dẫn giải
Hai tam giác $NHP,PKN$ vuông tại $H,K$, có cạnh huyền $NP$ chung và hai góc nhọn tương ứng bằng nhau:
$$\widehat{NPH}=\widehat{PNK}$$
vì tam giác $MNP$ cân tại $M$. Suy ra $\triangle NHP=\triangle PKN$ theo cạnh huyền–góc nhọn.
Từ hai cạnh tương ứng, có $HP=KN$. Vì $MN=MP$, ta được:
$$\begin{aligned}MK&=MN-KN\\&=MP-HP=MH.\end{aligned}$$
Hai tam giác $MEK,MEH$ vuông tại $K,H$, có cạnh huyền $ME$ chung và $MK=MH$. Suy ra hai tam giác bằng nhau theo cạnh huyền–cạnh góc vuông, nên:
$$\widehat{KME}=\widehat{EMH}.$$
Vì $K,H$ lần lượt nằm trên $MN,MP$ và tia $ME$ nằm trong góc $NMP$, suy ra $ME$ là đường phân giác của $\widehat{NMP}$.