Câu 8
Đề bài
Cho tam giác $MNP$ cân tại $M$, $\widehat M<90^\circ$. Kẻ $NH\perp MP$ tại $H$, $PK\perp MN$ tại $K$; $NH$ và $PK$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh $\triangle ENP$ cân.
Hướng dẫn giải
Hai tam giác $NHP,PKN$ vuông tại $H,K$, có cạnh huyền $NP$ chung và hai góc nhọn tương ứng bằng nhau:
$$\widehat{NPH}=\widehat{PNK}$$
vì tam giác $MNP$ cân tại $M$. Suy ra $\triangle NHP=\triangle PKN$ theo cạnh huyền–góc nhọn.
Do đó:
$$\widehat{HNP}=\widehat{KPN}.$$
Vì $E$ nằm trên các tia $NH,PK$, suy ra:
$$\widehat{ENP}=\widehat{EPN}.$$
Tam giác $ENP$ có hai góc ở đáy bằng nhau nên $EN=EP$. Vậy tam giác $ENP$ cân tại $E$.