Câu 8
Đề bài
Tìm số nguyên $n$ để $A=\dfrac{3n-4}{3-n}$ là số nguyên.
Hướng dẫn giải
**1) Điều kiện và biến đổi**
Điều kiện: $n\ne3$, để mẫu $3-n$ khác $0$.
Viết tử số theo mẫu:
$$3n-4=-3(3-n)+5.$$
Do đó:
$$\begin{aligned}
A&=\frac{-3(3-n)+5}{3-n}\\
&=-3+\frac5{3-n}.
\end{aligned}$$
**2) Tìm các giá trị $n$**
Vì $n$ là số nguyên, $3-n$ cũng là số nguyên. Số $-3$ nguyên, nên $A$ nguyên khi và chỉ khi $\dfrac5{3-n}$ nguyên. Vì vậy $3-n$ phải là một ước khác $0$ của $5$.
Các ước nguyên của $5$ là $1$, $-1$, $5$, $-5$. Giải lần lượt:
$$\begin{aligned}
3-n=1&\Rightarrow n=2,\\
3-n=-1&\Rightarrow n=4,\\
3-n=5&\Rightarrow n=-2,\\
3-n=-5&\Rightarrow n=8.
\end{aligned}$$
Cả bốn giá trị đều khác $3$, nên thỏa điều kiện.
**3) Kiểm tra và kết luận**
Thay từng giá trị vào biểu thức ban đầu:
| $n$ | $3-n$ | $A$ |
| --- | --- | --- |
| $2$ | $1$ | $2$ |
| $4$ | $-1$ | $-8$ |
| $-2$ | $5$ | $-2$ |
| $8$ | $-5$ | $-4$ |
Các giá trị $A$ đều nguyên. Không còn trường hợp nào khác, vì đã xét đủ các ước nguyên của $5$.
Vậy **$n\in\{-2;\,2;\,4;\,8\}$**.