Tìm khoảng đơn điệu từ công thức

Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của $$f(x)=x^3-6x^2+9x+2.$$ **Bước 1:** Là đa thức nên $D=\mathbb{R}$, đạo hàm tồn tại với mọi $x$. **Bước 2:** Tính từng số hạng: $$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3).$$ **Bước 3:** Phân tích $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Có thể kiểm lại bằng nhân ra: $x^2-3x-x+3$. Vậy $$f'(x)=3(x-1)(x-3).$$ Đạo hàm bằng $0$ tại $1$ và $3$. Hai mốc này chia miền thành ba khoảng. **Bước 4:** Hệ số $3$ dương nên không làm đổi dấu tích. Với $x<1$, cả hai nhân tử âm nên đạo hàm dương. Với $1<x<3$, nhân tử đầu dương, nhân tử sau âm nên đạo hàm âm. Với $x>3$, cả hai dương. | $x$ | $(-\infty;1)$ | $1$ | $(1;3)$ | $3$ | $(3;+\infty)$ | |---|---|---|---|---|---| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Chiều của $f$ | Tăng | Mốc | Giảm | Mốc | Tăng | **Bước 5:** Hàm đồng biến trên $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$; nghịch biến trên $(1;3)$. Đến đây ta đã trả lời được câu hỏi về các khoảng đơn điệu. Có thể thắc mắc có cần tính thêm $f(1)$ và $f(3)$ không. Trong bài này thì chưa cần; khi đề hỏi giá trị cực trị, ta mới thay các mốc đó vào **hàm gốc**. **Nhận xét.** Vì sao không ghi “đồng biến trên $(1;3)$”? Vì khoảng đó có đạo hàm âm; tìm đúng nghiệm mới hoàn thành một phần bài.

Cho $$g(x)=\frac{1}{x-2},\qquad g'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}\quad(x\ne2).$$ Bài đã cung cấp đạo hàm; chưa cần học quy tắc đạo hàm thương để làm ví dụ này. **Bước 1:** Mẫu của hàm bằng $0$ tại $2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$. **Bước 2:** Với mọi $x\ne2$, $(x-2)^2>0$. Tử $-1$ âm, vì vậy $g'(x)<0$ trên mỗi khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$. **Bước 3:** Kết luận hàm nghịch biến trên **từng khoảng** đó. Không gọi toàn bộ $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ là một khoảng nghịch biến. Để thấy việc gộp là sai: $1<3$, nhưng $g(1)=-1<1=g(3)$, không thỏa yêu cầu đầu vào lớn hơn cho đầu ra nhỏ hơn khi so sánh hai số nằm ở hai phía. Định lí dấu đạo hàm được áp dụng trên một khoảng nằm trong tập xác định. Ở đây $2$ không thuộc tập xác định, nên ta xét riêng hai khoảng ở hai phía của $2$.