Trước khi bắt đầu
Bài Hàm số và khoảng đã giới thiệu cách đọc một khoảng và thay số vào biểu thức. Bây giờ, ta tìm xem trên khoảng nào biểu thức nhận giá trị dương, âm hoặc bằng $0$. Cách làm này sẽ được dùng lại khi xét dấu đạo hàm, nên ta cùng đi từng bước từ bất phương trình đơn giản đến tích hai nhân tử.
“Xét dấu” đang hỏi điều gì?
Với $A(x)=2x-6$, kết quả phụ thuộc vào số $x$ được thay vào. Chẳng hạn $A(1)=-4$, $A(3)=0$, $A(5)=4$.
Khi xét dấu, ta cần tìm **tất cả** các giá trị của biến làm biểu thức âm, bằng $0$ hoặc dương. Thay vài số giúp hình dung bước đầu. Muốn kết luận trên cả một khoảng, ta còn phải giải thích vì sao dấu ấy đúng với mọi số trong khoảng.
Số âm nhỏ hơn $0$, số dương lớn hơn $0$. Số $0$ không phải số âm hay số dương. Trong thứ tự số, $-2>-5$; “âm hơn” không có nghĩa là lớn hơn.
Hai quy tắc biến đổi cần nhớ
Cộng hoặc trừ cùng một số ở hai vế thì giữ chiều bất đẳng thức. Nhân/chia hai vế cho số dương cũng giữ chiều; nhân/chia cho số âm thì **đảo chiều**.
Ví dụ $2<5$. Nhân cả hai với $-1$ được $-2>-5$. Có thể hình dung hai vị trí đổi phía khi đối xứng qua $0$.
“Chuyển vế đổi dấu” chỉ là cách viết gọn của cộng/trừ cùng một lượng ở hai vế. Nó không tự làm dấu $<$ đổi thành $>$.
Không chia hai vế cho biểu thức chứa $x$ khi chưa biết dấu và chưa loại khả năng nó bằng $0$.
Ví dụ mẫu 1 — Một hệ số âm
Tìm nơi $B(x)=-3x+6$ dương.
**Bước 1:** Viết đúng câu hỏi bằng bất phương trình:
$$-3x+6>0.$$
**Bước 2:** Trừ $6$ ở cả hai vế:
$$-3x>-6.$$
**Bước 3:** Chia hai vế cho $-3$. Vì $-3$ âm, đổi $>$ thành $<$:
$$x<2.$$
Vậy $B(x)>0$ trên $(-\infty;2)$. Tại $2$ biểu thức bằng $0$; với $x>2$, biểu thức âm. Có thể nhìn lại $B(x)=-3(x-2)$: nhân một số dương với $-3$ sẽ thành âm.
| $x$ | $x<2$ | $x=2$ | $x>2$ |
|---|---|---|---|
| $x-2$ | Âm | $0$ | Dương |
| $-3(x-2)$ | Dương | $0$ | Âm |
Nếu kết quả là $x>2$, hãy thử thay $x=3$: khi đó $B(3)=-3$, chưa thỏa yêu cầu biểu thức dương. Ta quay lại phép chia cho số âm để tìm chỗ cần sửa. Cách thử này giúp nhận ra lỗi và hiểu vì sao phải đổi chiều.
Thử: Giải bất phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình $5-2x>1$ là
Chia cho số âm phải đổi chiều bất đẳng thức.
Đúng. $x<2$.
Dấu $>$ trong đề không cho phép lấy $x=2$.
Cả chiều bất đẳng thức và việc nhận đầu mút đều chưa đúng.
Lời giải
Ta có $5-2x>1\Leftrightarrow-2x>-4\Leftrightarrow x<2$. Khi chia hai vế cho $-2$, phải đổi chiều bất đẳng thức. Vậy tập nghiệm là $(-\infty;2)$. Chọn B.
Ví dụ mẫu 2 — Tích hai nhân tử
Xét dấu $C(x)=(x+1)(x-3)$.
**Bước 1: Tìm mốc bằng 0.** Một tích bằng $0$ khi có ít nhất một nhân tử bằng $0$. Do đó $x=-1$ hoặc $x=3$.
**Bước 2: Chia thành ba khoảng.** Các mốc được sắp tăng dần: $-1<3$.
**Bước 3: Xét từng nhân tử.** Trên $(-\infty;-1)$, cả $x+1$ và $x-3$ đều âm. Âm nhân âm thành dương. Trên $(-1;3)$, nhân tử thứ nhất dương, thứ hai âm nên tích âm. Trên $(3;+\infty)$, cả hai dương nên tích dương.
| Vị trí | $x<-1$ | $x=-1$ | $-1<x<3$ | $x=3$ | $x>3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $C(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Vậy $C(x)<0$ khi $-1<x<3$. Nếu hỏi $C(x)\le0$, phải lấy cả hai mốc, được $[-1;3]$. Hai câu hỏi khác nhau ở việc có nhận giá trị $0$ hay không.
**Nhắc phân tích nhân tử:** $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$ vì nhân ra được $x^2-3x+x-3$. Ở đây không cần đoán dấu của cả đa thức khi đã biết dấu từng nhân tử.
Thử: Điền bảng dấu
Dấu của $E(x)=(x-2)(x-5)$ trên ba khoảng $(-\infty;2)$, $(2;5)$, $(5;+\infty)$ lần lượt là
Đúng. Xét dấu từng nhân tử trên từng khoảng.
Kết quả này là dấu của biểu thức có thêm hệ số âm phía trước.
Giữa hai nghiệm, hai nhân tử trái dấu.
Ở khoảng đầu, hai số âm nhân nhau cho tích dương.
Lời giải
Trên $(-\infty;2)$, hai nhân tử đều âm nên tích dương. Trên $(2;5)$, hai nhân tử trái dấu nên tích âm. Trên $(5;+\infty)$, hai nhân tử đều dương nên tích dương. Tại $2$ và $5$, biểu thức bằng $0$. Chọn A.
Một mốc bằng 0 có thể không làm đổi dấu
$(x-2)^2$ bằng $0$ tại $2$ nhưng dương ở cả hai phía. Vì bình phương của số khác $0$ luôn dương, bảng dấu là $+,0,+$. Vì vậy, mỗi khi đi qua một nghiệm, vẫn cần xem dấu ở hai bên; không phải nghiệm nào cũng làm biểu thức đổi dấu.
Với phân thức $1/(x-2)^2$, biểu thức dương trên cả hai khoảng bên ngoài $2$, nhưng tại $2$ là **không xác định**, không phải bằng $0$. Sau này khi gặp đạo hàm dạng này, vẫn phải tách hai khoảng.
Vận dụng kiến thức
Tập nghiệm của $4x-12\ge0$ là
Đề có dấu bằng nên phải nhận $3$.
Chia cho số dương không đổi chiều bất đẳng thức.
Đúng. $x\ge3$.
Cả chiều bất đẳng thức và đầu mút đều chưa đúng.
Lời giải
Ta có $4x-12\ge0\Leftrightarrow4x\ge12\Leftrightarrow x\ge3$. Chia cho số dương $4$ không đổi chiều. Vì có dấu bằng nên nhận $x=3$. Tập nghiệm là $[3;+\infty)$. Chọn C.
Vận dụng kiến thức
Dấu của $-2(x+2)(x-1)$ trên $(-\infty;-2)$, $(-2;1)$, $(1;+\infty)$ lần lượt là
Chưa xét hệ số âm $-2$ đứng trước tích.
Đúng. Hệ số âm làm đổi dấu của tích.
Giữa hai nghiệm, tích hai nhân tử âm; nhân với $-2$ được số dương.
Ở khoảng đầu, tích hai nhân tử dương; nhân với $-2$ được số âm.
Lời giải
Tích $(x+2)(x-1)$ mang dấu $+,-,+$ trên ba khoảng. Nhân với hệ số âm $-2$ làm đổi cả ba dấu thành $-,+,-$. Tại $x=-2$ và $x=1$, biểu thức bằng $0$. Chọn B.
Vận dụng kiến thức
Nhận xét nào đúng về $P(x)=(x+4)^2$?
Có nghiệm chưa đủ để kết luận biểu thức đổi dấu qua nghiệm.
Số âm bình phương vẫn dương.
Bình phương không nhận giá trị âm.
Đúng. Biểu thức không âm và chỉ bằng $0$ tại $-4$.
Lời giải
Bình phương của một số khác $0$ luôn dương. Vì thế $(x+4)^2>0$ với $x\ne-4$ và bằng $0$ tại $x=-4$. Biểu thức không đổi dấu khi đi qua $-4$. Chọn D.
Kết nối
Xét dấu gồm tìm mốc, tách khoảng và giải thích dấu trên mỗi khoảng. Nghiệm bằng $0$ và điểm không xác định phải ghi khác nhau. Sang P02 — Đạo hàm, biểu thức được xét dấu sẽ là đạo hàm, nhưng các phép biến đổi vẫn như bài này.
Đang học