Ý nghĩa đạo hàm và quy tắc cần dùng

Xét $f(x)=x^2$. Khi $x$ thay đổi từ $2$ đến $2+h$, độ biến thiên của $x$ là $h$ và độ biến thiên của giá trị hàm số là $f(2+h)-f(2)$. Số $h$ có thể dương hoặc âm. Với $h\ne0$, tỷ số thay đổi trung bình là: $$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{(2+h)^2-4}{h}.$$ Nhân hai ngoặc: $(2+h)^2=(2+h)(2+h)=4+2h+2h+h^2=4+4h+h^2$. Trừ $4$ ở tử rồi rút gọn: $$\frac{4h+h^2}{h}=4+h.$$ Chia được vì đang xét $h\ne0$. Nếu $h=0{,}1$, tỷ số bằng $4{,}1$; nếu $h=-0{,}1$, tỷ số bằng $3{,}9$. Khi $h$ tiến sát $0$ từ cả hai phía, $4+h$ tiến sát $4$. Số giới hạn đó là $f'(2)=4$. **Điểm dễ nhầm:** Không thay thẳng $h=0$ vào phân số ban đầu vì sẽ chia cho $0$. Ta xét giá trị mà tỷ số tiến tới. Ký hiệu tổng quát, để đọc khi gặp trong sách: $$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$ nếu giới hạn hữu hạn tồn tại. Dấu $\lim$ mô tả việc lấy giới hạn. Trong các bài đa thức sau, dùng quy tắc tính đã có; không cần lập lại phép tính giới hạn cho từng câu.