Nhận biết chiều biến thiên của hàm số
Một hàm số có thể mang giá trị âm mà vẫn đang tăng. Vì sao lại như vậy? Ta cùng bắt đầu từ một bảng giá trị, rồi dùng dấu của đạo hàm để nhận ra hàm tăng hay giảm trên khoảng nào. Bài này giúp phân biệt **giá trị của hàm số** với **chiều thay đổi của hàm số**.
**Nhắc nhanh:** $f(x)$ là giá trị của hàm số tại đầu vào $x$. $f'(x)$ là đạo hàm, biểu thị tốc độ thay đổi tức thời theo $x$. Khoảng $(a;b)$ gồm những số lớn hơn $a$ và nhỏ hơn $b$, không gồm hai đầu mút.
Thử kiến thức nền
Với $x<3$, biểu thức $2x-6$ mang dấu gì?
Nhân hai vế $x<3$ với số dương $2$, được $2x<6$. Trừ $6$ ở hai vế:
$$2x-6<0.$$
Vậy biểu thức mang dấu âm. Ta sẽ dùng chính cách suy luận này để xét dấu đạo hàm.
1. Giá trị âm có đồng nghĩa với đang giảm?
Xét hàm số:
$$f(x)=x^2-6x+5.$$
Một số giá trị của hàm là:
| $x$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $f(x)$ | $-3$ | $-4$ | $-3$ | $0$ |
Khi đi từ $x=3$ sang $x=4$, giá trị đổi từ $-4$ lên $-3$. Dù cả hai đều âm, $-3$ vẫn lớn hơn $-4$: giá trị đang **tăng** giữa hai vị trí này.
“Âm hay dương” và “tăng hay giảm” trả lời hai câu hỏi khác nhau. Dấu của $f(x)$ cho biết giá trị nằm về phía nào so với $0$; để biết chiều biến thiên trên cả một khoảng, ta nhìn dấu của **đạo hàm**.
Bảng trên mới cho ta biết giá trị hàm ở một vài điểm. Giữa các điểm ấy còn nhiều giá trị khác của biến, nên ta cần thêm lập luận để kết luận hàm tăng trên cả khoảng.
2. Quy tắc cần hiểu
**Đồng biến, nghịch biến là gì?** Trên khoảng $K$, lấy hai số bất kỳ $x_1<x_2$.
- Hàm số đồng biến nếu luôn có $f(x_1)<f(x_2)$: khi $x$ lớn hơn, giá trị hàm cũng lớn hơn.
- Hàm số nghịch biến nếu luôn có $f(x_1)>f(x_2)$: khi $x$ lớn hơn, giá trị hàm nhỏ hơn.
**Dùng đạo hàm để xét chiều biến thiên.** Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x)>0$ **tại mọi điểm** trong $K$, hàm số đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x)<0$ **tại mọi điểm** trong $K$, hàm số nghịch biến trên $K$.
Điểm cần để ý là **trên cả khoảng**. Chỉ kiểm tra đạo hàm tại một điểm rồi kết luận cho mọi điểm còn lại là chưa đủ. Bài này dùng điều kiện dấu dương hoặc âm nghiêm ngặt; trường hợp đạo hàm bằng $0$ tại một số điểm sẽ được làm rõ ở bài tiếp.
3. Làm trọn một ví dụ
**Bài toán:** Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của
$$f(x)=x^2-6x+5.$$
**Ta bắt đầu như thế nào?** Để biết hàm tăng hay giảm trên cả một khoảng, ta sẽ xét dấu đạo hàm. Trước hết tính đạo hàm, tìm các mốc cần xét, rồi lần lượt xem dấu ở mỗi khoảng.
**Bước 1. Xác định nơi hàm có nghĩa.** Đây là đa thức nên xác định và có đạo hàm trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
**Bước 2. Tính đạo hàm.**
$$f'(x)=2x-6.$$
**Bước 3. Tìm mốc xét dấu.**
$$2x-6=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=3.$$
Mốc $3$ chia trục số thành hai khoảng: phía nhỏ hơn $3$ và phía lớn hơn $3$.
**Bước 4. Xét dấu trên từng khoảng.** Vì $2x-6=2(x-3)$ và $2$ luôn dương, dấu của đạo hàm chính là dấu của $x-3$:
| Vị trí của $x$ | $x<3$ | $x=3$ | $x>3$ |
|---|---|---|---|
| Dấu $f'(x)$ | Âm | Bằng $0$ | Dương |
| Suy ra | Nghịch biến | Một điểm riêng | Đồng biến |
**Bước 5. Kết luận.** Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty)$.
Đề hỏi **khoảng**, nên trả lời chỉ “$x=3$” chưa đủ. $3$ là mốc chia khoảng. Ta không dùng nghiệm của $f(x)=0$ vì nghiệm của hàm số trả lời câu hỏi khác về giao điểm với trục hoành.
4. Luyện tập
Cho
$$g(x)=-x^2+8x-3,\qquad g'(x)=-2x+8.$$
Hãy xác định khoảng đồng biến của $g$.
Đúng. Điểm quan trọng là đạo hàm dương với mọi $x<4$.
xem lại bước chia cho số âm: khi chia hai vế cho $-2$, ta phải đổi chiều bất đẳng thức. Thử làm lại từ bước đó nhé.
Với $x>4$, đạo hàm $g'(x)<0$ nên hàm nghịch biến trên khoảng đó. Vì vậy không thể chọn đồng biến trên cả trục số.
Phương án này chỉ nêu mốc $4$. Ta còn cần tìm khoảng ở bên nào của mốc đó có đạo hàm dương.
Lời giải
Hàm đa thức xác định và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đạo hàm dương khi $x<4$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty;4)$. Chọn **A**.
Bài luyện 1
Hàm $h$ có đạo hàm $h'(x)=6x-12$ trên $\mathbb{R}$. Khoảng nào sau đây là khoảng nghịch biến?
Đúng. Đạo hàm âm khi $x<2$.
Trên khoảng này đạo hàm dương, nên hàm đồng biến.
Đạo hàm đổi dấu tại $x=2$, không âm trên toàn trục.
$x=2$ là mốc chia khoảng, không phải một khoảng nghịch biến.
Lời giải
Ta có $6x-12<0\Longleftrightarrow x<2$. Hệ số $6$ dương nên khi chia không đổi chiều. Hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$; chọn **A**.
Bài luyện 2
Cho $p(x)=x-100$ trên $(0;1)$. Hàm này có giá trị âm trên khoảng đó. An kết luận hàm phải nghịch biến. Kết luận có đúng không? Hãy giải thích bằng đạo hàm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Dấu của giá trị hàm không cho biết chiều biến thiên; cần xét dấu của đạo hàm.
Đạo hàm của $x-100$ là $1$; hằng số $-100$ có đạo hàm bằng $0$.
Đạo hàm dương trên toàn khoảng đã đủ để kết luận hàm đồng biến; hai đầu mút không thuộc khoảng cũng không cản trở kết luận này.
Lời giải
Kết luận của An **sai**. Vì $p'(x)=1>0$ tại mọi điểm trong $(0;1)$, hàm đồng biến trên khoảng này. Giá trị âm không ngăn hàm tăng: đi từ $-99{,}8$ lên $-99{,}2$ vẫn là tăng.
Bài luyện 3
Để chứng minh một hàm có đạo hàm trên $(1;5)$ là đồng biến theo quy tắc vừa học, thông tin nào dưới đây là đủ?
Một điểm dương không cho biết dấu đạo hàm tại các điểm khác trong khoảng.
Đúng. Điều kiện này bao phủ toàn bộ khoảng cần kết luận.
Một vài điểm chưa xác định dấu đạo hàm trên toàn khoảng.
So sánh hai giá trị đầu mút không đủ chứng minh hàm đồng biến tại mọi điểm trong khoảng.
Lời giải
Chọn **B**. Quy tắc yêu cầu đạo hàm dương trên cả khoảng. Chẳng hạn $f'(x)=3-x$ có $f'(2)>0$ nhưng âm khi $x>3$, nên một điểm dương không đủ để kết luận trên toàn $(1;5)$.
Những điều cần nhớ
- Để xét chiều biến thiên, nhìn dấu **đạo hàm**, không nhìn dấu của chính hàm số.
- Cần điều kiện trên một khoảng; một vài điểm quan sát không đủ chứng minh cho cả khoảng.
- Đạo hàm dương trên khoảng thì hàm đồng biến; đạo hàm âm thì hàm nghịch biến.
- Phân biệt mốc chia khoảng với khoảng cần trả lời.
Đang học