Trước khi bắt đầu
Khi đọc một bài về hàm số, thường gặp các ký hiệu như $f(x)$, $f(2)$ hay một khoảng trên trục số. Ta cùng làm quen với chúng qua những phép thay số đơn giản trước. Hiểu các ký hiệu này sẽ giúp việc theo dõi bài về hàm số tăng, giảm dễ hơn. Nếu còn lúng túng với số âm, hãy thực hiện chậm từng phép tính trong ví dụ, nhất là những chỗ có dấu ngoặc.
Khái niệm hàm số
Hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ là một quy tắc: với mỗi giá trị $x$ thuộc $D$, ta xác định được đúng một giá trị $f(x)$. Ta gọi $x$ là biến số, $D$ là tập xác định. Chẳng hạn, xét hàm số:
$$f(x)=2x-3.$$
Ta gọi hàm số này là $f$. Khi chọn một giá trị cho $x$ rồi tính theo công thức, ta nhận được $f(x)$. Lưu ý: $f(x)$ được đọc là “f của x”, không phải phép nhân $f$ với $x$.
Muốn tính $f(4)$, ta thay mỗi chữ $x$ trong công thức bằng $4$:
$$f(4)=2\cdot4-3=8-3=5.$$
Như vậy, khi chọn $x=4$, ta tính được giá trị hàm số là $5$. Có thể gọi $4$ là đầu vào và $5$ là đầu ra. Trên đồ thị, ta biểu diễn hai số này bằng điểm $(4;5)$: số thứ nhất cho biết vị trí theo trục ngang, số thứ hai cho biết vị trí theo trục đứng.
**Thử nghĩ xem:** Đề đã cho số cần thay là $4$. Khi hỏi $f(4)$, cần thay số đó vào công thức để tìm kết quả.
Ví dụ mẫu 1 — Thay số âm phải dùng ngoặc
Cho $g(x)=x^2-2x$. Tính $g(-3)$.
**Bước 1:** Thay từng $x$ bằng $(-3)$:
$$g(-3)=(-3)^2-2\cdot(-3).$$
**Bước 2:** Tính lũy thừa và phép nhân trước. $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$; $2\cdot(-3)=-6$.
**Bước 3:** Trừ một số âm là cộng số đối của nó:
$$g(-3)=9-(-6)=9+6=15.$$
Kết quả là $15$, không phải $3$. Nếu ra $3$, kiểm tra lại phép nhân $-2\cdot(-3)$: tích này bằng $+6$, không phải $-6$.
**Chú ý:** $(-3)^2=9$, còn $-3^2=-(3^2)=-9$. Ngoặc cho biết cả số âm được bình phương.
Thử: Tính giá trị
Cho $p(x)=3x+2$. Giá trị $p(-2)$ bằng bao nhiêu?
Đúng: $3\cdot(-2)+2=-4$. Khi thay $-2$ vào công thức, ta nhận được kết quả $-4$.
Đề đã cho số cần thay. Hãy dùng số đó để tính tiếp theo công thức.
Hãy giữ dấu âm khi thay số vào công thức, rồi tính lại phép nhân trước.
Cần cộng thêm $2$, không phải trừ $2$.
Lời giải
Chọn A vì $f(-2)=3\cdot(-2)+2=-4$. B là giá trị $x$ đã cho; C thường do bỏ dấu âm; D có thể do biến phép cộng $2$ thành trừ $2$. Nếu chọn A, hãy nói lại số nào là đầu vào và số nào là đầu ra.
Tập xác định: những giá trị nào của x dùng được?
Không phải công thức nào cũng nhận mọi số thực. Với
$$h(x)=\frac{2}{x-3},$$
đầu vào $3$ làm mẫu số bằng $0$. Phép chia cho $0$ không xác định, nên $3$ bị loại. Các số thực khác đều dùng được.
Ta viết $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$: tập xác định là mọi số thực trừ số $3$. $D$ là tên thường dùng cho tập xác định; $\mathbb{R}$ là tập số thực; dấu $\setminus$ ở đây có nghĩa bỏ đi.
Một số quy tắc đủ dùng ở chặng đầu:
| Công thức | Điều cần kiểm |
|---|---|
| Đa thức, như $x^2-2x+7$ | Nhận mọi số thực |
| Phân thức | Mẫu phải khác $0$ |
| Căn bậc hai trong phạm vi số thực | Biểu thức trong căn phải không âm |
Chẳng hạn, với $s(x)=\sqrt{x+2}$, ta cần $x+2\ge0$, tức $x\ge-2$. Số $-2$ vẫn được nhận vì $\sqrt{0}=0$.
Nếu nhiều điều kiện xuất hiện, phải thỏa đồng thời. Ví dụ $1/\sqrt{x-3}$ yêu cầu $x-3>0$: vừa có căn, vừa không được để mẫu bằng $0$. Bài này chưa cần xét logarit hay các dạng miền xác định phức tạp.
Ví dụ mẫu 2 — Đọc khoảng và viết miền
Với $h$ ở trên, miền gồm phía bên trái $3$ và phía bên phải $3$:
$$D=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
Dấu $\cup$ nghĩa là lấy các số thuộc bên này **hoặc** bên kia. Hai mảnh đều không chứa $3$.
| Ký hiệu | Đọc bằng lời | Có lấy đầu mút hữu hạn không? |
|---|---|---|
| $(1;4)$ | $1<x<4$ | Không lấy $1$, không lấy $4$ |
| $[1;4]$ | $1\le x\le4$ | Lấy cả hai |
| $[1;4)$ | $1\le x<4$ | Lấy $1$, không lấy $4$ |
| $(1;4]$ | $1<x\le4$ | Không lấy $1$, lấy $4$ |
| $(-\infty;3)$ | $x<3$ | Không lấy $3$ |
$\infty$ mô tả không có giới hạn về phía đó, không phải một số để đưa vào tập. Vì vậy phía vô cực luôn dùng ngoặc tròn. Dấu chấm phẩy trong $(1;4)$ ngăn hai đầu mút, không phải dấu thập phân.
**Điều này giúp gì cho bài học tiếp theo?** Khi xét hàm tăng/giảm, ta phải biết đang nói về dải đầu vào nào. Không được vẽ một khoảng đi qua số mà hàm không xác định.
Thử: Tìm số phải loại
Tập xác định của $q(x)=5/(x+2)$ là
Đúng. Loại giá trị làm mẫu số bằng $0$.
Mẫu bằng $0$ tại $x=-2$, không phải $x=2$.
Mẫu có thể âm; chỉ cần khác $0$.
Tại $x=-2$, phép chia không xác định.
Lời giải
Mẫu số phải khác $0$: $x+2\ne0\Leftrightarrow x\ne-2$. Vậy tập xác định là $\mathbb R\setminus\{-2\}$. Chọn A.
Vận dụng kiến thức
Cho $r(x)=x^2+1$. Điểm trên đồ thị ứng với $x=-2$ có tọa độ là
Hoành độ và tung độ bị đổi chỗ.
Phải bình phương cả số $-2$, được $4$.
Đúng. Tọa độ điểm là $(x;r(x))$.
Đề chọn $x=-2$, không phải $x=2$.
Lời giải
Ta có $r(-2)=(-2)^2+1=5$. Điểm trên đồ thị có hoành độ $-2$ và tung độ $5$, nên tọa độ là $(-2;5)$. Chọn C.
Vận dụng kiến thức
Trong các số $-1,0,2,3$, những số thuộc $(-1;3]$ là
Đầu trái $-1$ bị loại, còn đầu phải $3$ được nhận.
Đúng. Ngoặc tròn loại $-1$, ngoặc vuông nhận $3$.
Đã bỏ mất đầu phải $3$ được nhận.
Ngoặc tròn ở đầu trái không cho phép nhận $-1$.
Lời giải
Khoảng nửa kín $(-1;3]$ gồm những số $x$ thỏa mãn $-1<x\le3$. Vì vậy nhận $0,2,3$ và loại $-1$. Chọn B.
Vận dụng kiến thức
Tập xác định của $s(x)=\sqrt{x+4}$ là
Căn không ở mẫu nên được nhận giá trị làm biểu thức dưới căn bằng $0$.
Điều kiện đúng là $x+4\ge0$, không phải $x+4\le0$.
Cần loại mọi $x<-4$, không chỉ xét riêng $-4$.
Đúng. Biểu thức dưới căn không âm.
Lời giải
Căn bậc hai xác định khi $x+4\ge0$, tức $x\ge-4$. Tại $x=-4$, căn bằng $0$ nên vẫn được nhận. Vậy tập xác định là $[-4;+\infty)$. Chọn D.
Những điều cần nhớ trước khi học tiếp
- $x$ là đầu vào; $f(x)$ là kết quả; $f(a)$ nghĩa là thay $a$ vào quy tắc.
- Khi thay số âm, dùng ngoặc để tránh sai dấu.
- Miền xác định cho biết đầu vào được phép; khoảng mô tả một dải đầu vào.
- Ngoặc tròn không lấy đầu mút, ngoặc vuông có lấy đầu mút hữu hạn.
Nếu làm được ba câu tự kiểm và giải thích được các đầu mút, sang P01 — Xét dấu. Nếu còn lúng túng với số âm, hãy tính lại ví dụ mẫu 1 từng phép một. Sau đó thử tính $g(-1)$; kết quả là $3$ để đối chiếu.
Đang học