Cực trị và sự đổi dấu của đạo hàm

Đi theo đồ thị từ trái sang phải. Nếu đường đi lên rồi đi xuống, chỗ chuyển hướng là một “đỉnh” gần đó. Nếu đường đi xuống rồi đi lên, đó là một “đáy” gần đó. Trong Toán, ta cần phát biểu chính xác hơn hình dung đỉnh/đáy. Với hàm liên tục quanh một điểm nằm bên trong miền: - Hàm đạt **cực đại tại $x_0$** nếu giá trị ở $x_0$ lớn hơn giá trị tại mọi điểm khác đủ gần $x_0$. - Hàm đạt **cực tiểu tại $x_0$** nếu giá trị ở $x_0$ nhỏ hơn giá trị tại mọi điểm khác đủ gần $x_0$. Cần chú ý cụm “đủ gần”: ta chỉ cần so sánh với những điểm khác trong một khoảng nhỏ quanh $x_0$. Chưa cần so sánh với mọi điểm trên đồ thị. “Liên tục” ở mức trực quan là giá trị tiến tới tại điểm khớp giá trị hàm tại điểm, không bị nhảy hoặc khuyết; các đa thức ở đây liên tục mọi nơi. Cực đại/cực tiểu gọi chung là cực trị. Theo phạm vi định nghĩa đang học, ta xét điểm bên trong một khoảng; không gọi đầu mút đoạn là cực trị theo quy tắc đổi dấu hai phía này.

Giả sử $f$ liên tục trên một khoảng chứa $x_0$ và có đạo hàm ở hai phía của $x_0$. Xét dấu của $f'$ theo chiều $x$ tăng: | Bên trái $x_0$ | Bên phải $x_0$ | Chiều biến thiên | Kết luận | |---|---|---|---| | $f'>0$ | $f'<0$ | Tăng rồi giảm | Cực đại tại $x_0$ | | $f'<0$ | $f'>0$ | Giảm rồi tăng | Cực tiểu tại $x_0$ | | $f'>0$ | $f'>0$ | Tiếp tục tăng | Không có cực trị tại $x_0$ | | $f'<0$ | $f'<0$ | Tiếp tục giảm | Không có cực trị tại $x_0$ | Ở hai dòng cuối, đạo hàm không đổi dấu khi đi qua $x_0$, nên hàm số không đạt cực trị tại đó. Nếu $x_0$ không thuộc tập xác định thì không thể là điểm cực trị.

Hàm ở ví dụ 1 có cực đại $17$ tại $-2$, nhưng $f(5)=125-60+1=66>17$. Không mâu thuẫn: $5$ ở xa điểm cực đại, còn định nghĩa cực đại chỉ so sánh trong một vùng đủ gần. Muốn kết luận giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên một miền hoặc đoạn, phải làm bài toán so sánh trên toàn miền đó. Đây là chủ đề khác, không suy ngay từ một cực trị.