Kết nối công thức, bảng biến thiên, đồ thị

Trước khi bắt đầu

Cùng một hàm số, đề có thể cho công thức, bảng biến thiên hoặc đồ thị. Ta sẽ tập đọc từng dạng rồi đối chiếu chúng với nhau. Trước khi bắt đầu, cần nắm cách xét đơn điệu ở Tìm khoảng đơn điệu, cực trị ở Cực trị và sự đổi dấu và tọa độ ở Tọa độ điểm cực trị. Khi xem hình, hãy để ý đó là đồ thị của hàm số hay của đạo hàm; hai hình cần được đọc theo hai cách khác nhau.

Trước hết, cần xác định đang xem đồ thị nào

Trục ngang là đầu vào $x$. Trục đứng biểu diễn đại lượng ghi trên hình: - Với đồ thị **$y=f(x)$**, độ cao là giá trị hàm. Nhìn đường đi lên/xuống từ trái sang phải để nhận chiều biến thiên. - Với đồ thị **$y=f'(x)$**, độ cao là đạo hàm. Nhìn đường nằm trên/dưới trục ngang để nhận dấu đạo hàm, rồi suy ra chiều biến thiên của $f$. Thử tách hai việc khi đọc hình: đường nằm ở đâu so với trục ngang, và đường đang đi lên hay đi xuống. Đồ thị $f$ nằm dưới trục ngang vẫn có thể đang đi lên. Còn với đồ thị $f'$, chỉ cần nó vẫn ở trên trục ngang thì ta vẫn có $f'>0$; khi ấy $f$ tăng trên khoảng đang xét, dù đường $f'$ có thể đi xuống.

Ví dụ mẫu 1 — Đọc một hàm từ công thức

Xét $f(x)=x^3-3x+1$ trên $\mathbb{R}$. **Bước 1:** $f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$, bằng $0$ tại $-1$ và $1$. **Bước 2:** Dấu qua hai mốc là $+,0,-,0,+$. Vì vậy $f$ tăng trên $(-\infty;-1)$, giảm trên $(-1;1)$, tăng trên $(1;+\infty)$. **Bước 3:** Giá trị tại mốc: $$f(-1)=-1+3+1=3.$$ $$f(1)=1-3+1=-1.$$ Có cực đại tại $-1$ với giá trị $3$; cực tiểu tại $1$ với giá trị $-1$. **Bước 4:** Lập bảng biến thiên theo dạng thường gặp trong sách và đề bài:

Bảng biến thiên của f(x)=x³−3x+1: các mốc −1 và 1; đạo hàm có dấu dương, không, âm, không, dương; hàm tăng từ âm vô cực đến 3, giảm đến −1, rồi tăng đến dương vô cực.

Ta đọc bảng từ trái sang phải: - Hàng $x$ ghi hai mốc $-1$ và $1$, chia trục số thành ba khoảng. - Hàng $f'(x)$ ghi dấu đạo hàm trên từng khoảng và số $0$ tại mỗi mốc. - Hàng $f(x)$ dùng mũi tên lên hoặc xuống để biểu diễn chiều biến thiên. Tại $x=-1$, giá trị $3$ ở chỗ mũi tên đổi từ lên sang xuống; tại $x=1$, giá trị $-1$ ở chỗ đổi từ xuống sang lên. Vì vậy, nhìn cùng một cột giúp ta ghép đúng vị trí với giá trị cực trị: $f(-1)=3$ và $f(1)=-1$. Các ký hiệu vô cực mô tả xu hướng của hàm khi $x$ đi xa về hai phía, không phải giá trị tại một điểm. Ở đây xu hướng đó theo số hạng bậc cao nhất $x^3$. Nếu chưa học giới hạn, vẫn có thể dùng các khoảng và dấu đạo hàm trong bảng để đọc đơn điệu, cực trị.

Đối chiếu với đồ thị thật

Đồ thị hàm f: cực đại tại (−1; 3), cực tiểu tại (1; −1), đi qua (0; 1). Hình chỉ thể hiện một phần đồ thị.

Đọc theo thứ tự: 1. Tìm nhãn $y=f(x)$: đây là hình của hàm, không phải đạo hàm. 2. Đi từ trái sang phải: đường lên tới $(-1;3)$, xuống tới $(1;-1)$, rồi lên tiếp. Điều đó khớp ba khoảng trong bảng. 3. Chiếu điểm cực đại xuống trục ngang đọc $-1$, chiếu sang trục đứng đọc $3$. Tọa độ là $(-1;3)$. 4. Điểm $(0;1)$ nằm trên trục tung và đường đang đi xuống tại đó. Giá trị dương không có nghĩa hàm đang tăng. Có thể dùng hình để kiểm tra xem chiều đi của đường có khớp với bảng không. Tuy nhiên, hình chỉ cho thấy một phần đồ thị. Khi kết luận trên các khoảng kéo dài đến vô cực, ta dựa vào công thức và bảng dấu đã lập, thay vì đoán phần đường nằm ngoài hình. **Lỗi hay gặp:** Lấy giao điểm với trục ngang làm điểm cực trị. Giao điểm đó trả lời $f(x)=0$; còn cực trị là nơi hàm đổi chiều theo điều kiện đã học. Hai loại điểm có thể trùng trong một số bài, nhưng không tự đồng nghĩa.

Thử: Đọc hình hàm số

Dựa trên hình $f$ trong phần “Đối chiếu với đồ thị thật”, tọa độ điểm cực đại của đồ thị là gì?

A$(-1;3)$B$(1;-1)$C$(3;-1)$D$(0;1)$.

Ví dụ mẫu 2 — Hình cho đạo hàm, không cho hàm

Hàm $g$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $$g'(x)=(x+2)(x-1).$$ Hình sau là đồ thị **$y=g'(x)$**:

Đồ thị đạo hàm g′ cắt trục ngang tại −2 và 1, nằm dưới trục giữa hai mốc này và nằm trên trục ở hai phía ngoài.

**Bước 1:** Hai giao điểm trục ngang cho $g'=0$ tại $-2$ và $1$. **Bước 2:** Giữa hai nghiệm, đường nằm dưới trục ngang nên $g'<0$. Hai phía ngoài, nó nằm trên trục nên $g'>0$. Dấu này cũng được chứng minh từ tích hai nhân tử, không chỉ từ hình. **Bước 3:** Suy ra $g$ tăng trên $(-\infty;-2)$ và $(1;+\infty)$, giảm trên $(-2;1)$. Đạo hàm đổi $+\to-$ tại $-2$ nên $g$ cực đại tại $-2$; đổi $-\to+$ tại $1$ nên $g$ cực tiểu tại $1$. Hàm có đạo hàm mọi nơi nên liên tục, đủ điều kiện dùng quy tắc. **Bước 4:** Chưa biết giá trị cực trị của $g$. Điểm $(-2;0)$ trên hình là điểm của **đạo hàm**, không chứng minh $g(-2)=0$. Đáy của parabol đạo hàm cũng không phải điểm cực tiểu của hàm gốc. Ở gần đáy đó, $g'$ vẫn âm hai phía, nên $g$ vẫn giảm; không có đổi chiều của $g$ tại đó.

Thử: Đọc hình đạo hàm

Với $g'$ trong ví dụ “Hình cho đạo hàm, không cho hàm”, hàm $g$ nghịch biến trên khoảng nào?

A$(-\infty;-2)$B$(-2;1)$C$(1;+\infty)$DToàn $\mathbb{R}$.

Bài luyện 1

Với $f(x)=x^3-3x+1$ và hình trong phần “Đối chiếu với đồ thị thật”, tại $x=0$ hàm có giá trị dương hay âm? Hàm đang tăng hay giảm quanh đó? Hãy dùng đạo hàm để giải thích.

AVì $f(0)=1>0$, hàm đồng biến quanh $0$.B$f(0)=1>0$ nhưng $f'(0)=-3<0$. Thực ra $f'<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm giảm trên khoảng đó. Đừng chỉ từ một điểm đạo hàm âm khẳng định một khoảng tùy ý; ở đây đã có bảng dấu cả khoảng.CVì $f'(0)=-3<0$, nên $f(0)<0$ và hàm giảm quanh $0$.D$f(0)=0$ và $f'(0)=1$, nên đồ thị cắt trục hoành rồi tăng.

Bài luyện 2

Với dữ kiện về $g'$ trong ví dụ “Hình cho đạo hàm, không cho hàm”, Mai nói “đồ thị $g$ có điểm cực đại $(-2;0)$”. Phần nào xác định được, phần nào chưa đủ dữ kiện?

AXác định được điểm cực đại $(-2;0)$ vì $g'(-2)=0$.BXác định được giá trị cực đại bằng $-2$, nhưng chưa biết vị trí.CKhông thể xác định $g$ có cực đại hay không vì chưa có công thức của $g$.DXác định được $g$ cực đại tại đầu vào $-2$. Chưa biết $g(-2)$ nên chưa có tung độ. Số $0$ trong hình là $g'(-2)$, không phải $g(-2)$. Cộng hằng số vào $g$ không đổi hình đạo hàm nhưng đổi độ cao của đồ thị $g$.

Bài luyện 3

Một hàm $u$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đạo hàm dương trên $(-\infty;0)$, âm trên $(0;3)$ và dương trên $(3;+\infty)$. Biết $u(0)=5$, $u(3)=2$. Hãy nêu các khoảng đơn điệu, tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị và cho biết có đủ dữ kiện gọi $5$ là giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ không.

AHàm đồng biến trên $(-\infty;0)$, nghịch biến trên $(0;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty)$; GTLN trên $\mathbb R$ là $5$.BHàm nghịch biến trên hai khoảng ngoài và đồng biến trên $(0;3)$; cực tiểu $(0;5)$, cực đại $(3;2)$.CĐồng biến trên $(-\infty;0)$ và $(3;+\infty)$; nghịch biến trên $(0;3)$. Cực đại của đồ thị tại $(0;5)$, cực tiểu tại $(3;2)$. Chưa đủ kết luận giá trị lớn nhất toàn $\mathbb{R}$ là $5$: chưa biết nhánh tăng sau $3$ có vượt $5$ hay không. Cực đại chỉ yêu cầu so với vùng gần $0$.DHai điểm cực trị là $(5;0)$ và $(2;3)$; chưa đủ dữ kiện về GTLN.

Luyện tiếp theo nội dung nào?

Ba bài luyện cuối củng cố cách phân biệt đồ thị của $f$ và $f'$, đọc khoảng đơn điệu và xác định cực trị. Nếu còn nhầm ở bài luyện 1, xem lại bài Dấu đạo hàm; bài luyện 2, xem bài Tọa độ điểm cực trị; bài luyện 3, xem bài Cực trị và sự đổi dấu. Phần luyện tiếp là Ứng dụng đạo hàm và đồ thị. Nên bắt đầu bằng đúng các dạng vừa học; các dạng tham số, tiệm cận và tối ưu thực tế được học ở những phần sau.