Câu 21 · 21/21
Đề bài
Cho $A=3+3^2+3^3+\cdots+3^{100}$. Chứng minh rằng $A$ chia hết cho $4$.
Hướng dẫn giải
**Đáp án**:
$A$ chia hết cho $4$.
**Giải thích**:
Tổng có $100$ số hạng. Ghép hai số hạng liên tiếp thành một cặp, được $100:2=50$ cặp.
Cặp đầu:
$$3+3^2=3(1+3)=4\cdot3.$$
Cặp tiếp theo:
$$3^3+3^4=3^3(1+3)=4\cdot3^3.$$
Tương tự, cặp cuối:
$$3^{99}+3^{100}=3^{99}(1+3)$$
$$=4\cdot3^{99}.$$
Mỗi cặp đều có thừa số $4$. Cộng tất cả các cặp:
$$A=4(3+3^3+\cdots+3^{99}).$$
Biểu thức trong ngoặc là số tự nhiên, nên $A$ là bội của $4$. Vậy $A$ chia hết cho $4$.