Ôn chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Mỗi đối tượng cần dữ kiện nào?

Ta thường bắt đầu bằng một điểm và một vectơ thích hợp. Với mặt cầu, ta cần tâm và bán kính. | Đối tượng | Dữ kiện để viết phương trình | |---|---| | Mặt phẳng | Một điểm $A$ và vectơ pháp tuyến $\vec n\ne\vec0$ | | Đường thẳng | Một điểm $A$ và vectơ chỉ phương $\vec u\ne\vec0$ | | Mặt cầu | Tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R>0$ | Mặt phẳng qua $A(x_0;y_0;z_0)$ có pháp tuyến $(a;b;c)$ được viết $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$. Đường thẳng qua $A$ có chỉ phương $(u_1;u_2;u_3)$ được viết $x=x_0+u_1t$, $y=y_0+u_2t$, $z=z_0+u_3t$. Với $M(x_M;y_M;z_M)$ và $(P):ax+by+cz+d=0$, khoảng cách là $\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Tìm hình chiếu vuông góc của $A(1;2;3)$ lên $(P):x+y+z-3=0$. Mặt phẳng có pháp tuyến $\vec n=(1;1;1)$. Đường vuông góc đi qua $A$ có phương trình $x=1+t$, $y=2+t$, $z=3+t$. Thay vào $(P)$ được $3+3t=0$, nên $t=-1$. Hình chiếu là $H(0;1;2)$. Ta kiểm được $H\in(P)$ và $\overrightarrow{AH}=(-1;-1;-1)$ cùng phương với pháp tuyến. Khoảng cách $AH=\sqrt3$ cũng trùng với kết quả từ công thức khoảng cách.

Một mặt phẳng song song

Có tồn tại mặt phẳng phân biệt với $(P):x+y+z-3=0$, đi qua $B(2;0;1)$ và song song với $(P)$ không?

ACó; mặt phẳng cần tìm là $x+y+z-3=0$.BDùng cùng vectơ pháp tuyến $(1;1;1)$, ta được $(x-2)+y+(z-1)=0$, tức $x+y+z-3=0$. Vì $B$ thuộc chính $(P)$, không tồn tại mặt phẳng phân biệt với $(P)$ vừa qua $B$ vừa song song với $(P)$. Phương trình tìm được mô tả mặt phẳng trùng $(P)$; nếu đề yêu cầu song song theo nghĩa phân biệt, bài toán không có nghiệm.CCó; mặt phẳng $x+y+z-2=0$ đi qua $B$.DKhông tồn tại vì không thể có hai mặt phẳng song song cùng pháp tuyến.

Mặt cầu cắt mặt phẳng

Cho mặt cầu $x^2+y^2+(z-1)^2=9$ và mặt phẳng $z=3$. Tâm cầu là $I(0;0;1)$, bán kính $R=3$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng bằng $2<3$, nên giao là một đường tròn.

Thiết diện qua tâm cầu I và tâm đường tròn H, với IH=2, IM=3 và HM=√5; hình biểu diễn trong mặt phẳng cắt qua trục.

Tâm đường tròn là hình chiếu $H(0;0;3)$ của $I$. Với một điểm $M$ trên đường tròn, tam giác $IHM$ vuông tại $H$, nên bán kính đường tròn là $r=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$. Có thể kiểm lại bằng cách thay $z=3$ vào phương trình mặt cầu: $x^2+y^2=5$.

Đường thẳng qua hai điểm

Viết phương trình tham số của đường thẳng qua $A(1;0;2)$ và $B(3;1;0)$.

AVectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)$. Đường thẳng có $x=1+2t$, $y=t$, $z=2-2t$ với $t\in\mathbb R$. Khi $t=0$ được $A$, khi $t=1$ được $B$.BChỉ phương $A-B=(-2;-1;2)$ và phương trình $x=1+2t,y=t,z=2-2t$.C$x=2+t,y=1,z=-2+2t$.D$x=1+2t,y=t,z=2+2t$.

Giao của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao điểm của $d:x=1+t,\ y=2-t,\ z=2t$ với $(P):x+y+z-7=0$.

AThay vào được $2t-4=0$, $t=2$, nhưng giao điểm $(2;2;2)$.B$t=4$, nên giao điểm $(5;-2;8)$.CThay tọa độ trên $d$ vào $(P)$: $1+t+2-t+2t-7=0$, nên $t=2$. Giao điểm là $(3;0;4)$.DKhông có giao điểm vì các hệ số của $t$ trong $x,y$ triệt tiêu.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Đường thẳng có vectơ chỉ phương $(1;0;1)$. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $(Oxy)$.

APháp tuyến của $(Oxy)$ là $(0;0;1)$. Với góc $\alpha\in[0^\circ;90^\circ]$ cần tìm, $\sin\alpha=\frac{|1|}{\sqrt2\cdot1}=\frac{\sqrt2}{2}$. Suy ra $\alpha=45^\circ$.BGóc bằng $90^\circ$ vì chỉ phương có thành phần theo $Oz$.CGóc bằng $0^\circ$ vì đường có thành phần theo $Ox$ nằm trong mặt phẳng.DGóc bằng $135^\circ$ vì góc giữa hai vectơ là $45^\circ$.

Hoàn thành bình phương

Tìm tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$.

ATâm $I(-2;1;-3)$, bán kính $3$.BTâm $I(2;-1;3)$, bán kính $9$.CHoàn thành bình phương được $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9$. Vậy tâm $I(2;-1;3)$ và bán kính $R=3$.DTâm $I(4;-2;6)$, bán kính $5$ vì đọc trực tiếp hệ số tuyến tính.

Hai đường không song song chưa chắc cắt nhau

Xét vị trí tương đối của $d_1:(x;y;z)=(t;0;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(0;s;1)$.

AHai đường cắt nhau tại $O$ khi $t=s=0$.BHai đường song song vì không có giao điểm.CHai đường vuông góc và cắt nhau vì hai chỉ phương có tích vô hướng $0$.DHai vectơ chỉ phương $(1;0;0)$ và $(0;1;0)$ không cùng phương. Muốn có giao điểm, các tọa độ phải đồng thời bằng nhau, nhưng tọa độ $z$ luôn là $0$ trên $d_1$ và $1$ trên $d_2$. Vậy chúng không cắt nhau và không song song, nên chéo nhau.

Kết quả phải phù hợp với hình

Sau khi tìm một điểm, cần thay tọa độ điểm đó vào phương trình để kiểm tra. Khi tìm đường thẳng hay mặt phẳng, kiểm thêm hướng của vectơ. Hình vẽ giúp theo dõi quan hệ; tọa độ và phép tính giúp xác nhận quan hệ đó.