Chuẩn bị hình 3D
Hoạt động này rèn cách dựng đối tượng và thay đổi góc nhìn trong không gian. Trước hết, ta dựng các mặt phẳng và mặt cầu đã học; cuối bài là một hoạt động khám phá bằng giấy.
Mở GeoGebra ở chế độ hình học 3D. Các lệnh dưới đây dùng tên tiếng Anh; có thể chọn English (US). Nhập `I=(0,0,1)`, `Sphere(I,3)` và `z=3`. Ta được mặt cầu tâm $I$, bán kính $3$ và một mặt phẳng.
Xoay hình để thấy mặt phẳng xuyên qua mặt cầu. Có thể giảm độ đậm hoặc độ mờ của bề mặt để quan sát phần bị che. Góc nhìn hỗ trợ quan sát; kết luận giao, tiếp xúc hay không giao sẽ được kiểm bằng khoảng cách.
Tìm giao bằng phương trình trước khi nhìn hình
Mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+(z-1)^2=9$. Trên mặt phẳng $z=3$, phương trình trở thành $x^2+y^2=5$.
Vậy giao là đường tròn tâm $H(0;0;3)$, bán kính $\sqrt5$. Có thể nhập hai điểm `M=(sqrt(5),0,3)` và `N=(-sqrt(5),0,3)` để đánh dấu hai điểm đối diện trên đường tròn.
Khi nhìn nghiêng, đường tròn có thể trông như elip trên màn hình. Hình chiếu này không làm thay đổi việc giao trong không gian là một đường tròn.
Thay đổi độ cao của mặt phẳng
Giữ mặt cầu ở trên. Xét lần lượt các mặt phẳng $z=1$, $z=4$, $z=5$. Dự đoán giao trước khi vẽ.
Phải so khoảng cách từ tâm với bán kính; tại $z=4$ tiếp xúc và $z=5$ không giao.
Mặt phẳng qua tâm $z=1$ cho đường tròn lớn; $z=4$ mới cách tâm đúng bán kính.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Khoảng cách từ tâm tới $z=5$ là $4>3$, nên không có giao.
Lời giải
Khoảng cách từ tâm $I(0;0;1)$ đến các mặt phẳng lần lượt là $0,3,4$. Với $z=1$, giao là đường tròn lớn bán kính $3$. Với $z=4$, mặt phẳng tiếp xúc cầu tại $(0;0;4)$. Với $z=5$, không có giao vì khoảng cách $4$ lớn hơn bán kính $3$.
Dựng đường vuông góc và hình chiếu
Lấy $A(2;-1;4)$ và mặt phẳng $(P):z=1$. Pháp tuyến của $(P)$ là $(0;0;1)$, nên đường vuông góc qua $A$ có $x=2$, $y=-1$, $z=4+t$.
Giao với $(P)$ ứng với $t=-3$, nên hình chiếu là $H(2;-1;1)$. Trong phần mềm, nhập hai điểm và nối bằng công cụ đoạn thẳng. Đoạn $AH$ có độ dài $3$.
Khi xoay hình từ hai phía, đoạn $AH$ có thể trông ngắn hơn trên màn hình, nhưng giá trị độ dài tính từ tọa độ vẫn là $3$.
Đổi điểm được chiếu
Tìm hình chiếu của $B(-2;3;5)$ lên mặt phẳng $z=1$ và khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng. Dựng các điểm để đối chiếu.
Chiếu vuông góc lên $z=1$ giữ nguyên $x,y$; chỉ thay cao độ.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Khoảng cách theo phương $Oz$ là trị tuyệt đối hiệu cao độ $|5-1|=4$.
Mặt phẳng đích là $z=1$, không phải $(Oxy)$.
Lời giải
Hình chiếu giữ nguyên hai tọa độ $x,y$ và có $z=1$, nên là $K(-2;3;1)$. Khoảng cách $BK=|5-1|=4$.
Đường thẳng xuyên qua mặt cầu
Tìm giao của đường thẳng $x=0$, $y=0$, $z=t$ với mặt cầu $x^2+y^2+(z-1)^2=9$.
Lấy căn cho $t-1=\pm3$, không phải $\pm9$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Đường qua tâm cắt mặt cầu tại hai đầu đường kính, còn điểm $(0;0;-2)$.
Tham số nằm ở tọa độ $z$, nên hai điểm phải có $x=y=0$.
Lời giải
Thay vào phương trình cầu: $(t-1)^2=9$, nên $t=4$ hoặc $t=-2$. Hai giao điểm là $(0;0;4)$ và $(0;0;-2)$. Chúng là hai đầu đường kính qua tâm theo phương $Oz$.
Một hình nhìn như tiếp xúc
Từ một góc nhìn, mặt phẳng $z=3$ có vẻ chỉ chạm vào mặt cầu trên. Hãy dùng phép tính để quyết định quan hệ thật.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Góc nhìn 2D có thể che khuất; phép tính khoảng cách $2<3$ xác định giao là đường tròn.
Phải đo từ tâm có cao độ $1$: khoảng cách là $|3-1|=2$.
Bán kính giao tuyến là $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$, không phải hiệu hai độ dài.
Lời giải
Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là $|3-1|=2<3$. Vì vậy mặt phẳng cắt cầu theo đường tròn, không tiếp xúc. Ta cần xoay hình hoặc điều chỉnh độ mờ để quan sát rõ hơn.
Khám phá thêm: Dải Möbius
Có thể làm hoạt động này sau phần chính. Cắt một dải giấy dài, xoắn một đầu nửa vòng rồi dán hai đầu lại. Dùng bút vẽ một đường dọc giữa dải, đi liên tục mà không nhấc bút.
Với dải được dán đúng, nét bút sẽ đi qua cả hai phía của dải giấy ban đầu rồi trở lại điểm xuất phát. Đây là một cách quan sát đặc điểm chỉ có một mặt của dải Möbius. Có thể so sánh với vòng giấy được dán không xoắn. Hoạt động này mở rộng việc quan sát hình; không cần học công thức tham số của dải để hoàn thành phần tọa độ lớp 12.
Bản thực hành cần giữ lại
Chọn một hình thể hiện mặt cầu và mặt phẳng ở góc nhìn rõ, ghi tâm, bán kính, khoảng cách và kết luận về giao. Nếu có thêm ảnh từ góc nhìn khác, hãy giải thích vì sao cùng một hình không gian có thể trông khác nhau trên màn hình.
Đang học