Tìm pháp tuyến khi chưa được cho sẵn
Hai vectơ không cùng phương có giá nằm trong hoặc song song với (P) tạo thành một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng. Ta cần một vectơ khác 0 vuông góc cả hai.
Với $\vec u=(a;b;c)$ và $\vec v=(d;e;f)$, vectơ sau vuông góc cả u và v, gọi là tích có hướng:
$$[\vec u,\vec v]=(bf-ce;cd-af;ae-bd).$$
Tích có hướng bằng vectơ không khi hai vectơ cùng phương. Khi viết mặt phẳng qua ba điểm A,B,C, ta lấy $\vec u=\overrightarrow{AB}$, $\vec v=\overrightarrow{AC}$ rồi tìm $\vec n=[\vec u,\vec v]$.
Nếu $\vec n=\vec0$, ba điểm thẳng hàng hoặc có điểm trùng: dữ kiện không xác định duy nhất mặt phẳng. Nếu $\vec n\ne\vec0$, dùng A và pháp tuyến ấy để viết phương trình.
Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng
Cho $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$.
Tích có hướng là $(6;3;2)\ne\vec0$. Vì thế phương trình mặt phẳng qua A là $6(x-1)+3y+2z=0$, hay $6x+3y+2z-6=0$.
Thay A,B,C đều cho vế trái bằng 0. Với ba giao điểm khác O trên các trục, cũng có thể viết dạng đoạn chắn $x/1+y/2+z/3=1$; đây là cùng phương trình sau khi chia cho 6.
Kiểm tra dữ kiện ba điểm
Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng xác định bao nhiêu mặt phẳng đi qua cả ba?
Vẫn có các mặt phẳng chứa đường thẳng.
Thiếu điều kiện không thẳng hàng.
Không có lý do giới hạn ở hai mặt phẳng.
Đúng: có vô số mặt phẳng xoay quanh đường thẳng ấy.
Lời giải
Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng qua ba điểm. Điều kiện ba điểm không thẳng hàng mới cho một mặt phẳng duy nhất.
Đổi điều kiện hình học thành pháp tuyến
Mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước có thể dùng lại pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Sau khi viết qua điểm, nhớ kiểm nó có trùng mặt phẳng ban đầu không nếu đề yêu cầu song song phân biệt.
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm pháp tuyến ($A\ne B$).
Mặt phẳng chứa AB và vuông góc (Q): nếu $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương pháp tuyến $\vec n_Q$, có thể chọn pháp tuyến $[\overrightarrow{AB},\vec n_Q]$. Cách này đảm bảo pháp tuyến mới vuông góc cả AB lẫn pháp tuyến của (Q).
Mặt phẳng trung trực
Tìm mặt phẳng trung trực của $A(0;0;0)$ và $B(2;4;0)$.
Trung điểm là $I(1;2;0)$, vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4;0)$. Ta dùng pháp tuyến gọn hơn $(1;2;0)$. Mặt phẳng có phương trình $x-1+2(y-2)=0$, hay $x+2y-5=0$.
Điểm I thuộc mặt phẳng và đường AB vuông góc mặt phẳng. Vì thế mọi điểm trên mặt phẳng cách đều A và B.
Mặt phẳng song song
Viết mặt phẳng qua $M(0;0;1)$ và song song với $(P):x+2y-z+3=0$.
Điểm $M$ không thuộc $(P)$; phải đổi hằng số để mặt phẳng đi qua $M$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Thay $M(0;0;1)$ cho vế trái bằng $-2$, nên phương án không đi qua $M$.
Pháp tuyến không cùng phương với $(1;2;-1)$ nên không song song $(P)$.
Lời giải
Dùng pháp tuyến $(1;2;-1)$ được $x+2y-(z-1)=0$, tức $x+2y-z+1=0$. Hai hằng số khác nhau khi ba hệ số giống nhau nên hai mặt phẳng song song phân biệt.
Tích có hướng đơn giản
Tính $[(1;0;0),(0;1;0)]$ và nêu một mặt phẳng nhận vectơ ấy làm pháp tuyến.
Đổi dấu tích có hướng vẫn được pháp tuyến; mọi mặt phẳng $z=c$ đều nhận hướng này làm pháp tuyến.
Hai vectơ cơ sở theo $Ox,Oy$ có tích có hướng theo $Oz$.
Hai vectơ vuông góc và không cùng phương nên tích có hướng khác $0$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Tích có hướng là $(0;0;1)$. Ví dụ mặt phẳng $z=0$ nhận nó làm pháp tuyến.
Mặt phẳng qua hai điểm và vuông góc mặt khác
Viết mặt phẳng chứa $A(0;0;0)$, $B(1;1;0)$ và vuông góc $(Q):z=0$.
Điểm $B(1;1;0)$ không thỏa phương trình này.
Đây chính là mặt phẳng $(Q)$, không vuông góc với nó.
Mặt phẳng cần đi qua $A=O$, nên hằng số phải bằng $0$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=(1;1;0)$, $\vec n_Q=(0;0;1)$. Tích có hướng là $(1;-1;0)$. Mặt phẳng cần tìm $x-y=0$; chứa A,B và pháp tuyến vuông góc $\vec n_Q$.
Mặt phẳng qua ba điểm trên một độ cao
Cho $A(0;0;2)$, $B(1;0;2)$, $C(0;1;2)$. Viết mặt phẳng (ABC).
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Ba điểm có cao độ $2$, nên phương trình là $z=2$.
Điểm $B(1;0;2)$ cho vế trái $3$, không thỏa phương trình.
Các vectơ $AB=(1;0;0)$ và $AC=(0;1;0)$ không cùng phương, nên ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải
Ba điểm không thẳng hàng và cùng có $z=2$, nên mặt phẳng là $z-2=0$. Hoặc tính $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(0;0;1)$ rồi dùng A.
Điều cần nhớ
Phần lớn bài viết mặt phẳng đều quay về một điểm và một pháp tuyến. tìm đủ hai dữ kiện đó, kiểm pháp tuyến khác 0 rồi mới khai triển.
Đang học