Vị trí và khoảng cách giữa các mặt phẳng

So pháp tuyến trước, xét điểm hoặc hằng số sau

Cho hai mặt phẳng (P),(Q) với pháp tuyến $\vec n_P,\vec n_Q$. | Quan hệ pháp tuyến | Kết luận hoặc bước tiếp | |---|---| | Không cùng phương | Hai mặt phẳng cắt nhau | | Cùng phương | Kiểm xem hai phương trình có là bội khác 0 của nhau không | | Cùng phương, toàn bộ phương trình tỉ lệ | Hai mặt phẳng trùng nhau | | Cùng phương, hằng số không cùng tỉ lệ | Hai mặt phẳng song song phân biệt | Hai mặt phẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai pháp tuyến bằng 0. Hai pháp tuyến luôn khác 0 nên điều kiện này đồng thời cho hai mặt phẳng cắt nhau.

Pháp tuyến tỉ lệ chưa đủ kết luận trùng

Xét $(P):x+2y-z+1=0$ và $(Q):2x+4y-2z-3=0$. Pháp tuyến của Q gấp đôi pháp tuyến của P. Nhân **toàn bộ** phương trình P với 2 được $2x+4y-2z+2=0$. Hằng số 2 khác −3 của Q, nên hai mặt phẳng song song phân biệt. Nếu hằng số trong Q là +2, hai phương trình mới biểu diễn cùng một mặt phẳng.

Kiểm vuông góc

Các mặt phẳng $x+y=0$ và $x-y+z=1$ có quan hệ nào?

AVuông gócBSong song phân biệtCTrùng nhauDKhông thể xác định

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Với $M(x_0;y_0;z_0)$ và $(P):Ax+By+Cz+D=0$: $$d(M,(P))=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Tử là giá trị tuyệt đối của vế trái tại M, mẫu là độ dài pháp tuyến. Công thức không đổi nếu nhân toàn bộ phương trình mặt phẳng với một số khác 0. Khoảng cách bằng 0 khi M thuộc (P). Muốn tính khoảng cách giữa **hai mặt phẳng song song**, lấy một điểm trên mặt này rồi tính khoảng cách đến mặt kia. Nếu hai phương trình đã có cùng A,B,C, ta cũng có công thức $|D_1-D_2|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

Tính tử và mẫu riêng

Tính khoảng cách từ $M(1;2;-1)$ đến $(P):2x-y+2z-3=0$. Thay tọa độ M vào vế trái được $2-2-2-3=-5$, lấy giá trị tuyệt đối được 5. Độ dài pháp tuyến $(2;-1;2)$ là $\sqrt{4+1+4}=3$. Do đó khoảng cách bằng $5/3$. Đáp án không âm. Kết quả $-5/3$ cho thấy đã thiếu dấu giá trị tuyệt đối; kết quả $5/9$ cho thấy đã quên lấy căn ở mẫu.

Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Tính khoảng cách giữa $x+2y-2z+1=0$ và $2x+4y-4z-10=0$.

AKhoảng cách là $|1-(-10)|/3=11/3$.BChia phương trình thứ hai cho 2 được $x+2y-2z-5=0$. Khoảng cách $|1-(-5)|/\sqrt{1+4+4}=6/3=2$.CKhoảng cách bằng $6$ vì hiệu hai hằng số là $6$.DHai mặt phẳng cắt nhau nên khoảng cách bằng $0$ vì hằng số khác nhau.

Khoảng cách đến mặt phẳng tọa độ

Tính khoảng cách từ $M(2;-3;-4)$ đến (Oxy).

AKhoảng cách bằng $3$ vì lấy trị tuyệt đối tung độ.BKhoảng cách bằng $\sqrt{2^2+(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{29}$.CKhoảng cách bằng $-4$.D(Oxy) có phương trình z=0, nên khoảng cách là $|-4|=4$.

Tham số để vuông góc

Tìm m để $x+my+z=0$ vuông góc với $x+y-z+2=0$.

A$m=2$ vì hai phương trình có hai hệ số $x,z$ đối nhau.B$m=-2$ vì $1+m-1=0$.CTích vô hướng $(1;m;1)\cdot(1;1;-1)=m$. Vậy m=0.DKhông có $m$ vì hai mặt phẳng đều đi qua gốc.

Tham số để chứa điểm

Tìm D để mặt phẳng $2x-y+2z+D=0$ chứa M(1;2;3).

A$D=6$ vì chuyển $6$ sang vế phải.B$D=-3$ vì cộng tọa độ điểm $1+2+3$ rồi chia hệ số.C$D=-6$ nhưng khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng là $6/3=2$.DThay M vào được $2-2+6+D=0$, nên D=−6. Khi đó khoảng cách từ M đến mặt phẳng bằng 0.

Điều cần nhớ

Pháp tuyến cùng phương chưa phân biệt được song song và trùng. Công thức hiệu hai hằng số chỉ dùng sau khi các hệ số x,y,z đã được đưa về giống nhau.