Một điểm và một phương đi
Vectơ $\vec u=(a;b;c)\ne\vec0$ cùng phương với đường thẳng d gọi là vectơ chỉ phương của d. Một điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ và một chỉ phương xác định duy nhất một đường thẳng.
M thuộc d khi $\overrightarrow{AM}=t\vec u$ với một số thực t. Vì vậy phương trình tham số là:
$$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb R).$$
Cả ba tọa độ phải dùng **cùng một giá trị t**. Với đường thẳng hình học, t chạy trên toàn bộ số thực. Nếu dùng mô hình chuyển động, thời gian có thể bị giới hạn thêm bởi đề bài.
Đọc điểm, chỉ phương và kiểm điểm
Cho $d:\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\\z=3-t\end{cases}$. Khi t=0, ta có A(1;−1;3). Các hệ số của t cho chỉ phương $(2;1;-1)$.
Điểm B(5;1;1) thuộc d vì t=2 thỏa cả ba phương trình. Điểm C(5;1;2) không thuộc d: hai tọa độ đầu buộc t=2, nhưng khi ấy z=1, khác 2.
Không chọn ba giá trị t riêng cho x,y,z để cố làm một điểm thuộc đường.
Đọc vectơ chỉ phương
Đường $x=2-t,\ y=3,\ z=1+2t$ có chỉ phương nào?
Đây là tọa độ điểm khi t=0.
Hệ số của t trong y là 0, không phải 3.
Đúng: y không đổi tương ứng thành phần chỉ phương bằng 0.
Hệ số của t trong x là −1.
Lời giải
Hệ số của t lần lượt là −1,0,2 nên chỉ phương là $(-1;0;2)$.
Dạng chính tắc và cách tìm chỉ phương
Khi a,b,c đều khác 0, loại t từ phương trình tham số được:
$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$
Nếu một thành phần chỉ phương bằng 0, ta dùng dạng tham số hoặc giữ riêng phương trình tọa độ không đổi; không viết phân số có mẫu 0.
Đường qua hai điểm A,B phân biệt nhận $\overrightarrow{AB}$ làm chỉ phương. Đường vuông góc mặt phẳng nhận pháp tuyến của mặt phẳng làm chỉ phương. Đường song song với một đường đã cho có thể dùng lại chỉ phương của đường ấy.
Viết đường qua hai điểm
Cho A(1;0;2), B(3;−2;4). Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)$, ta dùng chỉ phương gọn hơn $(1;-1;1)$.
Đường AB có phương trình $x=1+t,\ y=-t,\ z=2+t$, với t thực. Dạng chính tắc là $(x-1)/1=y/(-1)=(z-2)/1$.
Khi t=0 ta có A; khi t=2 ta có B. Dùng chỉ phương ban đầu cũng cho cùng đường, chỉ khác giá trị tham số tại từng điểm.
Đường vuông góc mặt phẳng
Viết đường qua A(0;1;2) và vuông góc mặt phẳng $x+2y-z=0$.
Đường vuông góc mặt phẳng phải có chỉ phương cùng phương với pháp tuyến $(1;2;-1)$.
Đường phải đi qua $A(0;1;2)$ tại một giá trị tham số, phương án này không thỏa.
Chỉ phương $(1;-2;1)$ không cùng phương với pháp tuyến của mặt phẳng.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Chọn chỉ phương $(1;2;-1)$. Phương trình là $x=t,\ y=1+2t,\ z=2-t$, t thực.
Một tọa độ không đổi
Viết đường qua A(2;3;4) có chỉ phương (1;0;−2).
Đã dùng tọa độ chỉ phương làm điểm và tọa độ điểm làm chỉ phương.
Thành phần chỉ phương theo $y$ bằng $0$, nên $y$ phải giữ bằng $3$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Không viết phân thức có mẫu $0$; cần dùng dạng tham số hoặc ghi riêng $y=3$.
Lời giải
$x=2+t,\ y=3,\ z=4-2t$, t thực. Không viết mẫu 0 ở thành phần y.
Kiểm điểm thuộc đường
M(3;2;1) có thuộc đường $x=1+t,\ y=t,\ z=5-2t$ không?
Từ $y=t=2$ cũng cho $t=2$; ba tọa độ đồng thời thỏa.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Với $t=1$ điểm là $(2;1;3)$, không phải $M$.
Một điểm trên đường phải dùng cùng một tham số cho cả ba tọa độ.
Lời giải
Có. t=2 cho đồng thời x=3,y=2,z=1.
Đường và đoạn thẳng
Với A,B phân biệt, công thức $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ mô tả đoạn AB khi t thuộc khoảng nào?
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Giá trị âm đi từ $A$ theo hướng ngược $AB$, nằm ngoài đoạn.
Khoảng này bỏ hai đầu mút $A,B$; đoạn thẳng phải chứa cả hai.
Mọi số thực mô tả cả đường thẳng, không chỉ đoạn $AB$.
Lời giải
$0\le t\le1$. t=0 cho A, t=1 cho B, các giá trị ở giữa cho các điểm trên đoạn. Cho t mọi số thực thì được cả đường thẳng.
Điều cần nhớ
Hệ số của tham số là chỉ phương; hằng số là tọa độ một điểm. Khi kiểm điểm, cả ba phương trình phải đúng cùng lúc với một tham số.
Đang học