Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai bước để xét vị trí

Bốn ô minh họa hai đường trùng, song song, cắt nhau và chéo nhau trong không gian, kèm điều kiện về chỉ phương và điểm chung. — Trong không gian, hai đường không song song vẫn có thể không cắt vì chúng không đồng phẳng.

Trước hết so sánh chỉ phương của hai đường. Nếu chúng cùng phương, kiểm một điểm của đường này có thuộc đường kia không: có thì trùng, không thì song song phân biệt. Nếu chỉ phương không cùng phương, hai đường có thể cắt hoặc chéo. Đặt tham số của đường thứ nhất là t, đường thứ hai là s. Cho ba tọa độ tương ứng bằng nhau và giải hệ theo t,s. Có nghiệm thì cắt nhau; vô nghiệm thì chéo nhau. Hai tham số độc lập: cùng một giao điểm có thể ứng với t và s khác nhau. Chỉ buộc t=s nếu đề mô tả hai vật bằng cùng mốc thời gian và hỏi va chạm.

Hai đường cùng phương

Cho $d_1:(x;y;z)=(t;2t;t)$ và $d_2:(x;y;z)=(2s;1+4s;2s)$. Chỉ phương thứ hai $(2;4;2)$ gấp đôi $(1;2;1)$ của đường thứ nhất. Lấy A(0;1;0) trên d₂ (s=0). Nếu A thuộc d₁ thì t=0 từ x, nhưng y=2t=0 khác 1. Vậy A không thuộc d₁ và hai đường song song phân biệt.

Chưa đủ để kết luận cắt

Hai đường có chỉ phương không cùng phương. Kết luận nào luôn đúng?

AChúng cắt nhauBChúng chéo nhauCChúng cắt nhau hoặc chéo nhauDChúng song song

Giải hai phương trình rồi kiểm phương trình thứ ba

Cho $d_1:(x;y;z)=(t;1+t;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(2-s;s;0)$. Điểm chung phải thỏa $t=2-s$, $1+t=s$, và $0=0$. Thế s=1+t vào phương trình đầu: t=1−t, nên t=1/2 và s=3/2. Tọa độ giao điểm là $(1/2;3/2;0)$. Nếu thay tọa độ z của d₂ bằng 1, hai phương trình đầu vẫn cho cặp t,s ấy, nhưng phương trình thứ ba thành 0=1. Khi đó hai đường chéo nhau. Vì vậy không được bỏ bước kiểm tọa độ thứ ba.

Một cách kiểm khác khi đã biết tích có hướng

Với d₁ qua A, chỉ phương u; d₂ qua B, chỉ phương v không cùng phương, đặt $\vec n=[\vec u,\vec v]\ne\vec0$. Nếu $\overrightarrow{AB}\cdot\vec n=0$, hai đường đồng phẳng nên cắt nhau. Nếu tích ấy khác 0, hai đường chéo nhau. Khi cần tọa độ giao điểm, ta vẫn giải hệ tham số. Có thể chọn cách hệ phương trình cho các bài nền vì nó đồng thời cho biết điểm chung ở đâu.

Hai biểu diễn của cùng một đường

Xét $d_1:(x;y;z)=(t;2t;0)$ và $d_2:(x;y;z)=(1+2s;2+4s;0)$.

AHai đường song song phân biệt vì chỉ phương cùng phương.BHai đường cắt nhau tại đúng điểm $(1;2;0)$.CHai đường chéo nhau vì dùng hai tham số khác nhau.DChỉ phương cùng phương. Điểm (1;2;0) của d₂ thuộc d₁ với t=1, nên hai đường trùng nhau.

Cắt nhau tại gốc

Xét $d_1:(t;0;0)$ và $d_2:(0;s;0)$ với t,s thực.

AHai đường chéo nhau vì chỉ phương không cùng phương.BChỉ phương (1;0;0) và (0;1;0) không cùng phương. Hệ cho t=s=0, nên hai đường cắt nhau tại O.CHai đường vuông góc nhưng không cắt vì thuộc hai trục khác nhau.DHai đường song song vì mỗi đường có một tọa độ biến thiên.

Chéo nhưng vẫn vuông góc

Xét $d_1:(t;0;0)$ và $d_2:(0;s;1)$. Hai đường có cắt nhau không? Góc giữa chúng bằng bao nhiêu?

AHai đường cắt tại $O$ khi $t=s=0$.BKhông có điểm chung do tọa độ z luôn là 0 và 1. Chỉ phương không cùng phương nên chúng chéo nhau. Hai chỉ phương vuông góc, nên góc giữa hai đường bằng 90°.CHai đường song song vì không có điểm chung.DHai đường chéo nhau và góc bằng $0^\circ$.

Giao quỹ đạo khác va chạm

Hai quỹ đạo cắt nhau. Có chắc hai vật chuyển động trên đó va chạm không?

AChắc chắn va chạm vì hai quỹ đạo có giao điểm.BKhông thể va chạm vì hai vật có phương trình tham số khác nhau.CChỉ cần kiểm hai vật có cùng vận tốc tại một thời điểm.DKhông. Hai vật phải đến giao điểm cùng thời điểm. Nếu dùng các phương trình vị trí theo cùng thời gian t, cần giải để cả ba tọa độ bằng nhau tại cùng một t trong thời gian xét.

Điều cần nhớ

So chỉ phương rồi kiểm điểm chung. Hệ tìm giao điểm dùng hai tham số độc lập; luôn kiểm đủ ba tọa độ.