Công thức góc giữa đường và mặt trong Oxyz

Chọn vectơ theo đối tượng

Đường d tạo góc theta với hình chiếu d phẩy trên mặt phẳng, còn pháp tuyến n vuông góc mặt; góc giữa d và n bằng 90 độ trừ theta. — Chỉ phương được so với pháp tuyến; góc ấy phụ với góc đường–mặt nên công thức xuất hiện sin θ.

Đường thẳng cho **vectơ chỉ phương**, mặt phẳng cho **vectơ pháp tuyến**. Sau khi đọc đúng hai vectơ, hãy xác định loại góc đề hỏi. Gọi u,v là chỉ phương hai đường; n,m là pháp tuyến hai mặt. Với góc $\theta$ không tù: | Góc cần tính | Công thức | |---|---| | Hai đường | $\cos\theta=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$ | | Đường và mặt | $\sin\theta=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}$ | | Hai mặt | $\cos\theta=\dfrac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\,|\vec m|}$ | Góc đường–mặt dùng sin vì pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng: góc với pháp tuyến và góc với mặt phẳng phụ nhau. Dấu giá trị tuyệt đối giúp lấy góc trong $[0^\circ;90^\circ]$, không phụ thuộc chiều vectơ ta chọn.

Hai đường có góc 45 độ

Hai đường có chỉ phương $\vec u=(1;0;0)$ và $\vec v=(-1;1;0)$. Tích vô hướng bằng −1; hai độ dài là 1 và $\sqrt2$. Góc giữa hai đường có cosin $|-1|/(1\cdot\sqrt2)=1/\sqrt2$, nên bằng $45^\circ$. Góc giữa chính hai vectơ đã chọn là $135^\circ$, nhưng góc giữa hai đường là $45^\circ$. Hai câu hỏi khác nhau ở chỗ vectơ có hướng, đường thẳng không chọn sẵn một chiều.

Chọn sin hay cos

Đường có chỉ phương u, mặt phẳng có pháp tuyến n. Để tìm góc đường–mặt, ta đặt tỉ số tích vô hướng có giá trị tuyệt đối trên tích độ dài bằng gì?

A$\cos\theta$B$\sin\theta$C$\tan\theta$D$\theta$

Tính góc giữa hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng có pháp tuyến $(1;0;1)$ và $(0;1;1)$. Tích vô hướng bằng 1, mỗi vectơ dài $\sqrt2$. Do đó cosin góc giữa hai mặt bằng $1/2$, góc bằng $60^\circ$. Nếu đề cho phương trình mặt phẳng, bước đầu chỉ cần đọc ba hệ số x,y,z. Hằng số không ảnh hưởng đến góc vì nó không làm đổi phương pháp tuyến.

Góc của một đường với mặt phẳng tọa độ

Tính góc giữa đường có chỉ phương $(\sqrt3;0;1)$ và (Oxy).

AGóc bằng $60^\circ$ vì cosin giữa chỉ phương và pháp tuyến bằng $1/2$.B(Oxy) có pháp tuyến (0;0;1). Tích vô hướng bằng 1, độ dài chỉ phương bằng 2. Do đó $\sin\theta=1/2$, suy ra $\theta=30^\circ$.CGóc bằng $45^\circ$ vì hai vectơ có một thành phần chung bằng $1$.DGóc bằng $90^\circ$ vì chỉ phương có thành phần theo $Oz$.

Đường vuông góc mặt

Chỉ phương đường cùng phương pháp tuyến mặt phẳng. Góc đường–mặt bằng bao nhiêu?

AGóc bằng $0^\circ$ vì hai vectơ cùng phương.BGóc bằng $180^\circ$ nếu hai vectơ ngược hướng.CTỉ số bằng 1, nên $\sin\theta=1$ và góc bằng 90°.DChưa đủ vì chưa biết một điểm trên đường.

Đường song song hoặc nằm trong mặt

Chỉ phương đường có tích vô hướng bằng 0 với pháp tuyến mặt. Góc đường–mặt bằng bao nhiêu? Có đủ để nói đường song song phân biệt với mặt không?

AGóc bằng $90^\circ$ vì tích vô hướng bằng $0$.BGóc bằng $0^\circ$ và đường chắc chắn song song phân biệt với mặt.CGóc bằng 0°. Chưa đủ kết luận song song phân biệt: đường còn có thể nằm trong mặt phẳng, cần kiểm điểm đi qua.DKhông xác định được góc nếu chưa biết đường có cắt mặt phẳng không.

Góc hai mặt vuông góc

Tính góc giữa $x+y+1=0$ và $x-y+2z-3=0$.

AGóc bằng $0^\circ$ vì hai phương trình đều có hệ số $x$ bằng $1$.BGóc bằng $45^\circ$ vì hai pháp tuyến có hai thành phần khác nhau.CPháp tuyến (1;1;0) và (1;−1;2) có tích vô hướng 0. Cosin góc bằng 0, nên góc là 90°.DHai mặt phẳng song song vì cùng chứa biến $x,y$.

Điều cần nhớ

Đường–đường và mặt–mặt dùng cos; đường–mặt dùng sin. Vẫn nên hiểu vì sao thay vì chỉ nhớ bảng. Khi dùng máy tính, giữ số chính xác đến bước cuối rồi làm tròn theo yêu cầu.