Giao điểm và hình chiếu trong Oxyz

Thay phương trình đường vào phương trình mặt

Đường d có tọa độ theo t, mặt phẳng (P) có phương trình bậc nhất theo x,y,z. Thay cả ba tọa độ của d vào (P), ta được một phương trình theo t. Có một nghiệm: d cắt (P). Vô nghiệm: d song song (P). Đúng với mọi t: d nằm trong (P). Hệ số của t sau khi thay chính là tích vô hướng giữa chỉ phương đường và pháp tuyến mặt. Tích này khác 0 cho một giao điểm duy nhất.

Tìm giao điểm

Cho d: $x=1+t,\ y=2-t,\ z=t$ và (P): $x+y+z=5$. Thay vào được $(1+t)+(2-t)+t=5$, nên t=2. Giao điểm là M(3;0;2). Kiểm lại: M thuộc d với t=2 và $3+0+2=5$. Nếu thay mặt phẳng bằng $x+y=4$, phép thế cho 3=4 nên đường song song mặt. Nếu mặt phẳng là $x+y=3$, mọi t đều thỏa nên d nằm trong mặt.

Đọc kết quả sau phép thế

Thay phương trình đường vào mặt phẳng được $0t+5=0$. Kết luận nào đúng?

AĐường nằm trong mặtBĐường cắt mặt tại t=0CĐường song song mặtDKhông xác định được

Hình chiếu đi theo pháp tuyến

Muốn tìm hình chiếu H của M lên (P), viết đường qua M có chỉ phương là pháp tuyến của (P). Giao điểm của đường ấy với (P) chính là H. Nếu N đối xứng với M qua (P) thì H là trung điểm MN. Vì thế ta tìm từng tọa độ của N bằng $2H-M$. Cách này gắn kết quả đại số với việc hạ vuông góc và lấy đối xứng trong hình học.

Hình chiếu lên một mặt phẳng nghiêng

Tìm hình chiếu của M(2;0;0) lên (P): $x+y=0$.

H là chân đường vuông góc từ M xuống mặt phẳng P; N đối xứng M qua P, H là trung điểm MN.

Pháp tuyến là (1;1;0), đường vuông góc qua M có $x=2+t,\ y=t,\ z=0$. Thay vào (P): $2+2t=0$, nên t=−1. Vậy H(1;−1;0). Ta có H thuộc (P), $\overrightarrow{MH}=(-1;-1;0)$ cùng phương pháp tuyến, nên H đúng là hình chiếu. Điểm đối xứng của M qua (P) là N(0;−2;0). Khoảng cách từ M đến (P) bằng $MH=\sqrt2$.

Hình chiếu lên đường thẳng

Tìm hình chiếu H của M(1;2;0) lên đường $d:(x;y;z)=(t;t;0)$.

AHình chiếu là $H(1;1;0)$ vì giữ hoành độ của $M$.BĐặt H(t;t;0). Vì $\overrightarrow{MH}=(t-1;t-2;0)$ vuông góc chỉ phương (1;1;0), ta có $2t-3=0$. Vậy H(3/2;3/2;0).C$H(3;3;0)$ vì $2t-3=0$ cho $t=3$.D$H(3/2;3/2;0)$ nhưng $MH$ song song chỉ phương $(1;1;0)$.

Giao với mặt phẳng tọa độ

Tìm giao của $x=2+t,\ y=1-t,\ z=3-2t$ với (Oxy).

ACho $z=0$ được $t=3$, giao điểm $(5;-2;0)$.BGiao điểm $(7/2;1/2;0)$.CKhông có giao điểm vì đường không nằm trong $(Oxy)$.DCho z=0 được t=3/2. Giao điểm $(7/2;-1/2;0)$.

Đối xứng qua mặt phẳng tọa độ

Tìm điểm đối xứng của M(2;−1;3) qua (Oxy).

AĐiểm đối xứng là $(-2;1;-3)$ vì đổi dấu cả ba tọa độ.BHình chiếu là H(2;−1;0), nên điểm đối xứng là N(2;−1;−3).CĐiểm đối xứng là $(2;-1;0)$.DĐiểm đối xứng là $(2;-1;3)$ vì $M$ ở cùng phía mặt phẳng.

Kiểm đoạn có gặp mặt phẳng không

Đoạn AB có A(0;0;1), B(1;0;2). Đường AB cắt (Oxy); giao điểm có nằm trên đoạn AB không?

AGiao điểm nằm trên đoạn vì đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng.BGiao điểm là $(1;0;0)$ với $t=1$.CĐoạn không có đường thẳng chứa nó nên không thể xét giao.DViết điểm trên đường bằng $(t;0;1+t)$. Giao z=0 cho t=−1. Vì t không thuộc [0;1], giao điểm (−1;0;0) nằm ngoài đoạn AB.

Điều cần nhớ

Giao điểm phải thỏa cả đường và mặt. Hình chiếu còn có điều kiện vuông góc. Khi đề hỏi đoạn, tia hoặc thời gian chuyển động, kiểm thêm miền tham số sau khi giải.