Phương trình mặt cầu, tâm và bán kính

Mặt cầu là tập điểm cách tâm một khoảng cố định

Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R>0 gồm các điểm M có IM=R. Dùng công thức khoảng cách rồi bình phương, ta được: $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$ Điểm bên trong có IM<R, điểm bên ngoài có IM>R. Mặt cầu chỉ là bề mặt; vùng gồm cả bên trong được gọi là khối cầu. Khi mô hình một vùng phủ sóng không gian, điều kiện thường là $IM\le R$, không chỉ $IM=R$.

Đọc tâm và bán kính

Mặt cầu $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$ có tâm I(1;−2;3), bán kính R=4. Dấu cộng trong y+2 tương ứng với $y-(-2)$ nên tọa độ tâm là −2. Vế phải 16 là bình phương bán kính, không phải bán kính. Với M(1;2;3), ta có IM=4 nên M thuộc mặt cầu. Gốc O có $OI^2=1+4+9=14<16$, nên O nằm bên trong.

Đọc đúng dấu và căn

Mặt cầu $(x+1)^2+y^2+(z-2)^2=9$ có tâm và bán kính nào?

AI(1;0;−2), R=3BI(−1;0;2), R=9CI(−1;0;2), R=3DI(1;0;2), R=3

Khi phương trình đã khai triển

Với phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$, hoàn thành bình phương cho: $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d.$$ Nó biểu diễn mặt cầu khi vế phải **dương**. Vế phải bằng 0 chỉ cho một điểm; âm thì không có điểm thực. Trước khi dùng công thức, các hệ số của $x^2,y^2,z^2$ phải bằng nhau và được chia về 1; không có các tích xy,yz,zx. Khi chưa chắc, nên hoàn thành bình phương trực tiếp.

Hoàn thành bình phương

Xét $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$. Gom từng biến: $x^2-2x=(x-1)^2-1$; $y^2+4y=(y+2)^2-4$; $z^2-6z=(z-3)^2-9$. Chuyển các hằng số sang phải được: $$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16.$$ Vậy đây là mặt cầu tâm (1;−2;3), bán kính 4. Cách làm cũng giải thích vì sao cần kiểm điều kiện R²>0.

Mặt cầu có đường kính cho trước

Viết mặt cầu đường kính AB với A(0;0;0), B(2;4;0).

ATâm $I(2;4;0)$ và $R^2=20$.BTâm $I(1;2;0)$ và phương trình bằng $20$.CTâm là trung điểm I(1;2;0). $AB^2=20$, nên $R^2=AB^2/4=5$. Phương trình $(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=5$.DTâm $I(1;2;0)$, bán kính $5$.

Tâm và một điểm thuộc mặt cầu

Viết mặt cầu tâm I(1;0;0) đi qua A(1;3;4).

A$R=25$, nên phương trình bằng $625$.B$R^2=IA^2=0^2+3^2+4^2=25$. Phương trình $(x-1)^2+y^2+z^2=25$.C$(x+1)^2+y^2+z^2=25$.D$(x-1)^2+(y-3)^2+(z-4)^2=25$.

Điều kiện tồn tại

$x^2+y^2+z^2+2x+2=0$ có biểu diễn mặt cầu không?

ACó, tâm $(-1;0;0)$ và bán kính $1$.BHoàn thành bình phương được $(x+1)^2+y^2+z^2=-1$. Vế trái không âm nên không có điểm thực, không phải mặt cầu.CCó, tâm $(1;0;0)$ và $R^2=-1$.DKhông, vì mọi phương trình mặt cầu đều phải có hằng số tự do âm.

Điểm thuộc vùng cầu

Một vùng gồm các điểm cách O không quá 5. Điểm M(3;4;0) và N(4;4;0) có thuộc vùng không?

ACả M và N đều thuộc vì các tọa độ đều không vượt quá $5$.BOM=5 nên M thuộc biên và thuộc vùng. $ON^2=32>25$ nên N ở ngoài vùng.CM không thuộc vì $OM=5$ chỉ nằm trên biên, không nằm trong vùng.DN thuộc vì $ON=\sqrt{32}<25$.

Điều cần nhớ

Tâm được đọc từ các biểu thức “tọa độ trừ tọa độ tâm”; bán kính là căn dương của vế phải. Điều kiện R>0 không được bỏ.