So khoảng cách từ tâm với bán kính
Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của I lên (P), d=IH.
| So sánh | Vị trí |
|---|---|
| d>R | Không có điểm chung |
| d=R | Tiếp xúc tại H |
| d<R | Cắt nhau theo đường tròn tâm H |
Trong trường hợp cắt nhau, một điểm M trên giao tuyến có tam giác IHM vuông tại H. Vì IM=R nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
Nếu cần mặt phẳng tiếp xúc tại M đã biết trên mặt cầu, ta lấy điểm M và pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$ để viết phương trình.
Thiết diện của một mặt cầu
Mặt cầu $x^2+y^2+z^2=25$ bị cắt bởi mặt phẳng z=3. Tâm I là O, R=5. Khoảng cách tâm đến mặt phẳng bằng 3<5, nên giao tuyến là một đường tròn.
Tâm đường tròn là H(0;0;3), bán kính $r=\sqrt{25-9}=4$. Ta cũng có thể thay z=3 vào mặt cầu để được $x^2+y^2=16$ trong mặt phẳng z=3.
Điều kiện tiếp xúc
Mặt cầu tâm I, bán kính 4 tiếp xúc mặt phẳng (P) khi khoảng cách từ I đến (P) bằng
Mặt phẳng qua tâm sẽ cắt mặt cầu theo đường tròn lớn.
Khoảng cách nhỏ hơn bán kính cho giao tuyến đường tròn.
Đúng: d=R là điều kiện tiếp xúc.
16 là bình phương bán kính.
Lời giải
Khoảng cách bằng R=4.
Viết mặt cầu tiếp xúc một mặt phẳng
Viết mặt cầu tâm I(1;2;3), tiếp xúc (Oxy). Bán kính phải bằng khoảng cách từ I đến z=0, tức R=3. Do đó:
$$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9.$$
Tiếp điểm là H(1;2;0), hình chiếu của I lên (Oxy). Nếu tâm nằm ngay trên (Oxy), không có mặt cầu bán kính dương tiếp xúc mặt phẳng ấy: mọi mặt cầu có tâm trên mặt phẳng đều bị mặt phẳng cắt.
Khi bài toán nói về vùng không gian
Một thiết bị đặt tại I và có phạm vi theo khoảng cách R có thể được mô hình bằng $IM\le R$. Đây là mô hình hình học do đề quy định; ta dùng nó để kiểm vị trí bằng cách so IM² với R².
Nếu vật đi theo đường thẳng tham số, thay tọa độ theo t vào phương trình mặt cầu để tìm lúc qua biên. Nghiệm chỉ được giữ khi phù hợp thời gian hoặc đoạn đường đề cho. Nằm trong vùng tương ứng bất phương trình, có thể là cả một khoảng thời gian.
Thời gian nằm trong vùng
Vật có vị trí M(t;0;0), với t≥0 tính bằng giây. Vùng theo dõi là $x^2+y^2+z^2\le9$. Vật nằm trong vùng vào lúc nào?
Còn điều kiện thời gian $t\ge0$, nên phải loại các giá trị âm.
Bất đẳng thức $t^2\le9$ cho $|t|\le3$, không phải phía ngoài.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Mọi thời điểm từ $0$ đến $3$ đều thỏa; $t=3$ là lúc ở trên biên.
Lời giải
Thay tọa độ cho $t^2\le9$. Kết hợp t≥0 được $0\le t\le3$ giây. Vật qua biên lúc t=3.
Mặt phẳng tiếp xúc tại một điểm
Viết tiếp diện tại M(3;4;0) của mặt cầu tâm O, bán kính 5.
Mặt phẳng còn phải đi qua $M$, nên hằng số là $-25$.
Pháp tuyến tiếp diện phải cùng phương với bán kính $OM$, không vuông góc nó.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Thay tọa độ $M$ phải cho $9+16-25=0$; hằng số đúng là $-25$.
Lời giải
Pháp tuyến là OM=(3;4;0). Phương trình $3(x-3)+4(y-4)=0$, hay $3x+4y-25=0$. Khoảng cách O đến mặt phẳng bằng 25/5=5.
Hai mặt phẳng cùng song song
Tìm các mặt phẳng song song với (Oxy) và tiếp xúc mặt cầu tâm I(0;0;2), R=3.
Có hai mặt phẳng song song cách tâm $3$, ở hai phía: $z=5$ và $z=-1$.
Khoảng cách được tính từ cao độ tâm $2$, nên giải $|2-k|=3$.
Song song với $(Oxy)$ phải có dạng $z=k$, không phải $x=k$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Mặt phẳng có dạng z=k. Điều kiện $|2-k|=3$ cho k=5 hoặc k=−1. Vậy hai mặt phẳng z=5 và z=−1.
Đường có hai giao điểm với mặt cầu
Tìm giao của đường $M(t;0;0)$ với mặt cầu $(x-1)^2+y^2+z^2=4$. Nếu chỉ xét tia t≥0 thì còn điểm nào?
Từ $(t-1)^2=4$ suy ra $t-1=\pm2$, không phải $\pm4$.
Đường thẳng dùng mọi $t$ thực; chỉ khi chuyển sang tia $t\ge0$ mới loại điểm âm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Điều kiện tia áp dụng cho tham số/hoành độ $t$; điểm có $t=-1$ bị loại.
Lời giải
Phương trình $(t-1)^2=4$ cho t=−1 hoặc t=3, nên giao điểm (−1;0;0) và (3;0;0). Với tia t≥0 chỉ giữ (3;0;0).
Điều cần nhớ
Bài tổng hợp thường chỉ ghép các bước đã học: đọc tâm và bán kính, tính khoảng cách, tìm hình chiếu, rồi kiểm miền tham số. Nên giữ các bước tách rõ để dễ kiểm lại.
Đang học