Từ kết quả Toán đến câu trả lời thực tế
Trong bài thực tế, tìm được nghiệm đạo hàm mới là một bước. Ta cần biết biến đó chỉ đại lượng gì, có thỏa điều kiện không, và đề hỏi giá trị lớn nhất hay thời điểm đạt được. Bài này bắt đầu từ mô hình đã cho, sau đó tập lập một công thức đơn giản.
Cách trình bày một bài vận dụng
1. Nêu biến, đơn vị và điều kiện.
2. Viết hoặc xác định hàm cần tìm GTLN–GTNN. Đọc kỹ đề hỏi chính đại lượng đó hay tốc độ thay đổi của nó.
3. Dùng đạo hàm và so sánh giá trị trên tập phù hợp.
4. Trả lời bằng lời, kèm đơn vị và nơi đạt được nếu đề yêu cầu.
Nếu biến chỉ nhận số nguyên, nghiệm tối ưu trong bài toán liên tục có thể không được phép. Khi đó cần xét các giá trị nguyên phù hợp, không tự làm tròn rồi coi như đã giải xong.
Ví dụ 1 — Đã có công thức
Một mô hình cho độ cao của vật trong $0\le t\le4$ giây:
$$h(t)=-t^2+4t+1\quad\text{(mét)}.$$
Hỏi độ cao lớn nhất trong khoảng thời gian này và thời điểm đạt được.
**Xác định đại lượng.** Đề hỏi độ cao, nên ta tìm GTLN của $h$, không phải của $h'$.
**Tìm điểm cần xét.** $h'(t)=-2t+4=0$ khi $t=2$, thuộc $(0;4)$.
**So sánh.** $h(0)=1$, $h(2)=5$, $h(4)=1$. Hàm đa thức liên tục trên đoạn nên GTLN là $5$.
**Trả lời.** Trong 4 giây đang xét, vật đạt độ cao lớn nhất **5 mét tại t=2 giây**. Số 2 chỉ thời điểm; số 5 mới là độ cao.
Thử: lợi nhuận lớn nhất
Lợi nhuận theo mô hình $P(x)=-x^2+8x-7$ (triệu đồng), với $x\in[0;6]$. Giá trị lớn nhất của lợi nhuận là bao nhiêu?
$4$ là giá trị của biến tại điểm tối ưu; cần tính P(4).
Đầu mút x=6 không có nghĩa lợi nhuận bằng 6.
$5=P(6)$, nhỏ hơn P(4)=9.
Đúng: giá trị lớn nhất của P là 9 triệu đồng.
Lời giải
Hàm liên tục trên đoạn. So sánh P(0)=−7, P(4)=9, P(6)=5, suy ra lợi nhuận lớn nhất là 9 triệu đồng tại x=4. Chọn D.
Ví dụ 2 — Lập một công thức đơn giản
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 24 m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
Gọi một cạnh là $x$ mét. Hai cạnh kề có tổng $12$ m, nên cạnh còn lại là $12-x$ mét. Điều kiện để hình chữ nhật không suy biến là $0<x<12$.
Diện tích cần tối ưu:
$$S(x)=x(12-x)=-x^2+12x.$$
Ta có $S'(x)=12-2x$: dương khi $0<x<6$, âm khi $6<x<12$. Vì vậy diện tích tăng đến $x=6$ rồi giảm; GTLN trên khoảng $(0;12)$ là $S(6)=36$.
Kích thước cần tìm là $6\text{ m}\times6\text{ m}$, diện tích lớn nhất $36\text{ m}^2$.
Ở đây miền là một khoảng mở, nên ta dùng chiều biến thiên để kết luận. Hai giá trị $x=0,12$ không phải kích thước được phép; không cần đưa chúng vào câu trả lời thực tế.
Thử: hình chữ nhật với chu vi khác
Một hình chữ nhật có chu vi 20 cm. Tìm kích thước và diện tích lớn nhất.
Tổng hai cạnh chỉ bằng nửa chu vi, tức $10$ cm; đã dùng nhầm chu vi thành tổng hai cạnh.
Hai cạnh $4,6$ cho diện tích $24$, nhỏ hơn $25$; điểm cực đại xảy ra khi hai cạnh cùng bằng $5$.
Số $5$ là độ dài cạnh tại điểm tối ưu; phải thay vào $S$ để được diện tích $25$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Gọi một cạnh x cm, cạnh kia 10−x cm, với 0<x<10. $S(x)=x(10-x)$; $S\prime(x)=10-2x$ đổi từ dương sang âm qua 5. GTLN là S(5)=25 cm², khi hai cạnh đều bằng 5 cm.
Nếu biến phải là số nguyên
Giả sử mô hình lợi nhuận là $Q(n)=-(n-3{,}4)^2+10$ với $n$ nguyên từ 1 đến 6. Khi cho biến nhận số thực, đỉnh ở $3{,}4$; nhưng $n=3{,}4$ không hợp lệ.
Hàm tăng trước $3{,}4$ và giảm sau đó, nên trong các số nguyên, chỉ cần so sánh hai số kề đỉnh: $Q(3)=9{,}84$ và $Q(4)=9{,}64$. Chọn $n=3$.
Lập luận tăng giảm mới cho phép rút xuống hai ứng viên đó. Không phải bài tối ưu số nguyên nào cũng giải được bằng cách làm tròn một nghiệm bất kỳ.
Bài luyện 1
Nhiệt độ trong một thí nghiệm được mô hình hóa bởi $T(t)=-t^2+6t+20$ (°C), $0\le t\le5$ phút. Tìm nhiệt độ lớn nhất và thời điểm đạt được.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Cần so sánh cả điểm tới hạn $t=3$, nơi nhiệt độ bằng $29^\circ\mathrm C$.
Giá trị đạo hàm bằng $0$ không phải nhiệt độ; phải tính $T(3)=29$.
Tại $t=5$, nhiệt độ chỉ bằng $25^\circ\mathrm C$; GTLN chỉ đạt tại $t=3$.
Lời giải
$T\prime(t)=-2t+6=0$ tại t=3. T(0)=20, T(3)=29, T(5)=25. Nhiệt độ lớn nhất là 29°C tại t=3 phút.
Bài luyện 2
Một mô hình chi phí là $C(x)=x^2-6x+14$ (triệu đồng), $1\le x\le5$. Tìm chi phí nhỏ nhất và giá trị x tương ứng.
Số $3$ là nghiệm của đạo hàm, không phải chi phí; thay vào hàm cho $C(3)=5$.
Hai đầu đoạn cùng cho $9$, nhưng điểm bên trong $x=3$ cho giá trị nhỏ hơn là $5$.
Đạo hàm đổi dấu tại $x=3$; hàm giảm trước $3$ và tăng sau $3$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
$C\prime(x)=2x-6=0$ tại x=3. C(1)=9, C(3)=5, C(5)=9. Chi phí nhỏ nhất là 5 triệu đồng tại x=3.
Bài luyện 3
Số lượng sản phẩm tích lũy được mô hình hóa bởi $N(t)=t^3$ trên $[0;2]$ giờ. Đề hỏi tốc độ sản xuất lớn nhất. Bình dùng $N(2)=8$ để trả lời. Hãy sửa lời giải.
Đã dùng lượng tích lũy thay cho tốc độ; tốc độ phải là đạo hàm của $N$.
Đạo hàm của $t^3$ là $3t^2$, không phải $3t$.
Hàm $3t^2$ tăng trên $[0;2]$, nên lớn nhất tại đầu phải $t=2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Tốc độ là $v(t)=N\prime(t)=3t^2$ (sản phẩm/giờ). Trên [0;2], v tăng nên lớn nhất tại t=2, bằng 12 sản phẩm/giờ. Số 8 là lượng sản phẩm theo mô hình tại t=2, không phải tốc độ.
Luyện tiếp sau cụm bài này
Khi giải bài toán thực tế, cần kiểm tra ba điểm: đại lượng cần tối ưu đã được chọn đúng, miền của biến phù hợp với điều kiện bài toán và kết luận đã có đơn vị.
Nên bắt đầu bằng các bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức trên đoạn hoặc đọc trực tiếp từ bảng và đồ thị. Các bài cần lập mô hình nhiều bước được trình bày ở phần tối ưu thực tiễn.
Đang học