Dùng lại cách tìm trung vị
Ba tứ phân vị $Q_1,Q_2,Q_3$ ứng với các mốc $n/4,n/2,3n/4$; $Q_2$ chính là trung vị. Chúng chia mẫu đã sắp tăng thành bốn phần có quy mô xấp xỉ bằng nhau.
Với mốc cần tìm là r, xác định nhóm chứa mốc bằng tần số tích lũy rồi tính:
$$Q=L+\frac{r-F}{f}h.$$
L,F,f,h được đọc như trong công thức trung vị. Giữ nguyên mốc r dù không nguyên. **Khoảng tứ phân vị** là $\Delta_Q=Q_3-Q_1$, đo độ trải rộng của khoảng giữa, tương ứng khoảng 50% số quan sát.
Tính hai đầu của khoảng giữa
Dùng bảng:
| Thời gian (phút) | $[0;10)$ | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Tần số | 4 | 8 | 6 | 2 |
n=20, tích lũy 4,12,18,20. Mốc n/4=5 ở nhóm $[10;20)$:
$$Q_1=10+\frac{5-4}{8}\cdot10=11{,}25.$$
Mốc 3n/4=15 ở nhóm $[20;30)$, trước nhóm này đã có 12 quan sát:
$$Q_3=20+\frac{15-12}{6}\cdot10=25.$$
Vậy $\Delta_Q=25-11{,}25=13{,}75$ phút. Hai tứ phân vị nằm ở hai nhóm khác nhau, nên bộ L,F,f,h cũng phải đổi.
Không làm tròn mốc
Mẫu có n=30. Mốc dùng để nội suy Q₁ là
Không làm tròn xuống trước khi nội suy.
Không làm tròn lên trước khi nội suy.
Đúng: giữ mốc 7,5.
15 là mốc của trung vị.
Lời giải
$n/4=30/4=7{,}5$. Đây là mốc tính toán, không cần là một thứ tự nguyên.
So sánh phần giữa của hai mẫu
Hai mẫu cùng đo thời gian, đơn vị phút. Mẫu A có Q₁=12, Q₃=20; mẫu B có Q₁=10, Q₃=22. Khi xét khoảng tứ phân vị:
$\Delta_A=20-12=8$, còn $\Delta_B=22-10=12$. Phần giữa mẫu A tập trung hơn vì có khoảng tứ phân vị nhỏ hơn.
Nhận xét này nói về độ phân tán theo khoảng tứ phân vị, chưa đủ để kết luận A có trung bình nhỏ hơn hay mọi thời gian của A đều ngắn hơn.
Nhận biết giá trị bất thường khi đề yêu cầu
Một quy tắc thường dùng coi giá trị nhỏ hơn $Q_1-1{,}5\Delta_Q$ hoặc lớn hơn $Q_3+1{,}5\Delta_Q$ là giá trị bất thường. Đúng bằng ngưỡng thì chưa nằm ngoài ngưỡng.
Nếu chỉ có bảng ghép nhóm mà một nhóm cắt qua ngưỡng, ta không biết chính xác bao nhiêu giá trị trong nhóm vượt ngưỡng. Khoảng tứ phân vị ít nhạy hơn khoảng biến thiên với các giá trị ở hai đầu mẫu; không vì thế mà bỏ qua dữ kiện của đề.
Nội suy Q₃
Mẫu có n=40. Nhóm chứa Q₃ là $[20;30)$, tần số 12; trước nhóm có 24 quan sát. Tính Q₃.
Phải trừ $24$ quan sát đã nằm trước nhóm chứa tứ phân vị.
Nội suy bắt đầu từ đầu trái của nhóm là $20$, không phải đầu phải $30$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Kết quả số trùng hợp nhưng lập luận không đúng; phải dùng vị trí tích lũy để nội suy.
Lời giải
Mốc $3n/4=30$. $Q_3=20+(30-24)/12\cdot10=25$.
Tính khoảng tứ phân vị
Cho Q₁=8, Q₂=11, Q₃=14. Tính khoảng tứ phân vị.
Khoảng tứ phân vị được định nghĩa là $Q_3-Q_1$.
Độ rộng của khoảng giữa là hiệu hai tứ phân vị, không phải tổng.
Đây chỉ là độ rộng nửa dưới; phải lấy toàn khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
$\Delta_Q=14-8=6$. Không lấy Q₃−Q₂ vì chỉ tính nửa trên của khoảng giữa.
Kiểm thứ tự
Một phép tính cho Q₁=18 và Q₃=12. Có thể đúng không?
Theo thứ tự vị trí dữ liệu, luôn phải có $Q_1\le Q_3$.
Tần số không thể đảo thứ tự các tứ phân vị.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Kết luận trường hợp này không đúng, nhưng quy tắc tổng quát chỉ là $Q_1\le Q_3$; hai tứ phân vị có thể bằng nhau.
Lời giải
Không. Tứ phân vị theo thứ tự phải thỏa $Q_1\le Q_2\le Q_3$. Cần kiểm lại nhóm và tần số tích lũy.
Dùng ngưỡng bất thường
Q₁=10, Q₃=18. Theo quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị, 30 và 31 có vượt ngưỡng trên không?
Phải nhân $1{,}5$ với khoảng tứ phân vị $8$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Số bằng ngưỡng chưa vượt; chỉ các giá trị lớn hơn $30$ mới vượt.
Quy tắc dùng $1{,}5\Delta_Q$, không dùng nửa khoảng tứ phân vị.
Lời giải
$\Delta_Q=8$; ngưỡng trên $18+1{,}5\cdot8=30$. Số 30 bằng ngưỡng, chưa vượt; 31 vượt ngưỡng.
Điều cần nhớ
Tứ phân vị dùng cùng một công thức với ba mốc khác nhau. Tính riêng Q₁,Q₃ rồi lấy hiệu; khi so sánh, nói rõ đang xét độ phân tán của phần giữa mẫu.
Đang học