Trung vị và mốt của mẫu ghép nhóm

Trung vị nhìn vào vị trí ở giữa

Trung vị $M_e$ chia mẫu đã sắp tăng thành hai phần có quy mô xấp xỉ bằng nhau. Với bảng ghép nhóm, ta tìm vị trí $n/2$ bằng tần số tích lũy, rồi tính: $$M_e=L+\frac{n/2-F}{f}\,h.$$ Ở đây L là đầu mút trái nhóm chứa trung vị; F là tổng tần số **trước** nhóm đó; f là tần số của nhóm; h là độ dài nhóm. Phần $(n/2-F)/f$ cho biết ta đi bao nhiêu phần của nhóm, tính từ L. Không làm tròn $n/2$ thành số nguyên. Với các nhóm liền nhau, nếu mốc đúng ở ranh giới tích lũy thì công thức ở hai nhóm kề nhau cho cùng đầu mút chung. Các ví dụ sau chọn mốc nằm bên trong một nhóm có tần số dương.

Tìm nhóm trước khi thay số

Dải bốn nhóm có tần số 4, 8, 6, 2; mốc trung vị thứ 10 nằm ba phần tư trong nhóm từ 10 đến 20, tại 17 phẩy 5. — Mốc thứ 10 đi qua 6 trong 8 vị trí của nhóm [10;20), nên nằm ở ba phần tư độ dài nhóm.

Xét bảng: | Thời gian (phút) | $[0;10)$ | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ | |---|---:|---:|---:|---:| | Tần số | 4 | 8 | 6 | 2 | Ta có n=20, mốc n/2=10; tần số tích lũy là 4,12,18,20. Mốc 10 nằm trong nhóm $[10;20)$, nên L=10, F=4, f=8, h=10. $$M_e=10+\frac{10-4}{8}\cdot10=17{,}5\text{ phút}.$$ Số trung vị không mặc định là trung điểm 15 của nhóm. Ta cần tính vị trí bên trong nhóm bằng công thức.

Chọn đúng tần số đứng trước

Trong ví dụ, F để tính trung vị là

A4B8C12D20

Mốt nhìn vào nhóm xuất hiện nhiều nhất

Khi các nhóm có **độ dài bằng nhau**, nhóm có tần số lớn nhất là nhóm chứa mốt. Với một nhóm đạt đỉnh rõ ràng, gọi tần số nhóm đó là f, hai nhóm liền trước và sau là $f_-,f_+$. Ta tính: $$M_o=L+\frac{f-f_-}{(f-f_-)+(f-f_+)}h.$$ L,h là đầu mút trái và độ dài nhóm chứa mốt. Nếu mốt ở nhóm đầu hoặc cuối, quy ước tần số phía ngoài bảng bằng 0. Một mẫu có thể có nhiều mốt; khi tất cả tần số bằng nhau, không xác định mốt theo cách này. Ta không tự chọn một nhóm để chia cho 0.

Tính mốt từ nhóm đông nhất

Biểu đồ tần số 4, 8, 6, 2 có nhóm cao nhất từ 10 đến 20; hai độ chênh 4 và 2 cho mốt xấp xỉ 16 phẩy 67. — Sườn tăng mạnh hơn sườn giảm nên mốt ước lượng lệch về phía phải của trung điểm nhóm.

Vẫn bảng trên, tần số lớn nhất là 8, thuộc nhóm $[10;20)$. Tần số hai bên là 4 và 6. Do đó: $$M_o=10+\frac{8-4}{(8-4)+(8-6)}\cdot10=\frac{50}{3}\approx16{,}67\text{ phút}.$$ Đây là giá trị ước lượng vùng tập trung nhiều quan sát. Ta không thể kết luận dữ liệu gốc có đúng một quan sát, hay nhiều nhất quan sát, bằng chính 16,67 phút.

Một trung vị khác

Các nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số 3,10,7. Tính trung vị.

ATrung vị bằng 20 vì lấy trung điểm của toàn khoảng 0 đến 30.BTrung vị bằng 15 vì lấy trung điểm nhóm thứ hai.Cn=20, mốc10 nằm ở nhóm thứ hai vì 3<10<13. $M_e=10+(10-3)/10\cdot10=17$.DTrung vị bằng 10 vì $n/2=10$.

Tính mốt

Ba nhóm độ dài 5 là $[0;5)$, $[5;10)$, $[10;15)$, tần số 2,6,4. Tính mốt.

AMốt bằng 7,5, là trung điểm nhóm có tần số lớn nhất.BMốt bằng 6 vì tần số lớn nhất là 6.CNhóm chứa mốt là $[5;10)$. Hai độ chênh tần số là 4 và 2. Vì vậy $M_o=5+\frac{4}{4+2}\cdot5=25/3$, xấp xỉ 8,33.D$M_o=5+\frac{2}{4+2}\cdot5=20/3$.

Mốc nằm đúng biên

Hai nhóm liền nhau $[0;10)$ và $[10;20)$ đều có tần số 5. Theo công thức nội suy ghép nhóm, trung vị bằng bao nhiêu?

ATrung vị bằng 5 vì nằm giữa năm giá trị đầu.BTrung vị bằng 15 vì dùng trung điểm nhóm thứ hai.Cn/2=5. Từ nhóm đầu: $0+(5-0)/5\cdot10=10$; từ nhóm sau: $10+(5-5)/5\cdot10=10$. Hai cách cùng cho biên chung 10.DKhông xác định được vì mốc nằm đúng biên nhóm.

Phân biệt hai cách tìm nhóm

Có phải nhóm chứa trung vị luôn là nhóm có tần số lớn nhất không?

AKhông. Trung vị dựa vào tần số tích lũy tại mốc n/2; mốt dựa vào tần số lớn nhất khi các nhóm có cùng độ dài. Chúng có thể ở cùng nhóm hoặc khác nhóm.BCó, vì cả trung vị và mốt đều nằm ở giữa mẫu.CCó, nếu các nhóm có cùng độ dài thì hai khái niệm trùng nhau.DKhông; nhóm trung vị và nhóm mốt luôn khác nhau.

Điều cần nhớ

Trung vị: tìm mốc n/2 bằng tích lũy. Mốt: tìm nhóm đông nhất rồi xem hai nhóm kề. Cả hai là số đặc trưng của mẫu ghép nhóm, xấp xỉ cho dữ liệu gốc.